Solucion a problemas con leyes de kepler

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Nombre y Apellidos 10/12/2007

Bloque II: Interacción Gravitatoria

OPCIÓN A

Cuestiones (1 punto c/u)

A. Enuncia las tres leyes de Kepler. Si un planeta A tiene doble período que el de otro planeta B, ¿en qué relación están los radios de sus órbitas?

1ª (Ley de las órbitas) Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.
2ª(Ley de las áreas) En su movimiento, el radio vector de los planetas con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª (Ley de los períodos) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.

Cuando un satélite de masa m se encuentra orbitando en torno a un planeta demasa M, la fuerza centrípeta que permite el movimiento circular es igual a la fuerza gravitatoria entre el planeta y el satélite,

[pic]

Como la velocidad orbital vo se puede expresar en función del periodo T como

[pic]

Sustituyendo en la primera expresión obtenemos la 3ª ley de Kepler,

[pic]

Si un planeta A tiene doble periodo que otro planetaB, TA = 2 TB. Por tanto, suponiendo que las masas de los planetas son diferentes,

[pic]; pero como [pic], entonces
[pic]
Es decir, que [pic]

B. El momento angular de un objeto que se mueve bajo la acción de un campo de fuerzas centrales es constante. ¿Qué implica esto?

Por ser el momento angular una magnitud vectorial, el hecho de permanecer constante implicaque deben serlo su módulo, dirección y sentido.
La conservación de la dirección del momento angular implica que la trayectoria del objeto está siempre en el mismo plano, ya que la dirección del momento angular, que debe ser constante, es perpendicular al plano formado por los vectores posición y velocidad. Es decir, que tanto la velocidad y el vector posición deben permanecer siempre enel mismo plano.
La conservación del sentido del momento angular implica que el objeto recorre su trayectoria siempre en el mismo sentido.
La conservación del módulo del momento angular implica que el vector de posición del objeto barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, que la velocidad areolar permanece constante (2ª Ley de Kepler)

[pic] A
ds

OB

El área del triángulo OAB será OA×AB / 2, es decir, base por altura dividido por dos. Por tanto, si en un instante t el objeto se encuentra en el punto A y se desplaza hasta B en un tiempo dt, su vector de posición va desde r hasta r + dr. El área elemental dA barrida por el vector de posición será

[pic] y dividiendo por dt, [pic]

Con lo que se demuestra que si elmódulo del momento angular permanece constante, también lo será la velocidad areolar.

C. La velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s ¿Cuál sería la velocidad de escape si se duplicase la masa de la Tierra permaneciendo invariable su tamaño? ¿Cuál sería la velocidad de escape si se duplicase el radio de la Tierra, permaneciendo constante su masa?

La energía totalde un objeto de masa m situado en un campo gravitatorio creado por otra masa M es la suma de su energía cinética y potencial gravitatoria,

[pic]

Como la velocidad orbital es [pic],

sustituyendo en la primera expresión, [pic]

Si el objeto está atrapado en el campo, su energía total será E < 0, como se observa de la expresión anterior. La velocidad de escape esla velocidad con la que debe ser lanzado un objeto para ser capaz de llegar al infinito con velocidad nula, es decir,

[pic]

Si se duplicase la masa de la Tierra, M’ = 2M, manteniendo invariable su tamaño, r’ = r,

[pic] 15,8 km/s

Si se duplicase ahora el radio de la Tierra, r’ = 2r, manteniendo invariable su masa, M’ = M,

[pic] 7,9 km/s

D....
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