Solucionario calculo

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AULA POLITÈCNICA 31

Cálculo Problemas y soluciones

AULA POLITÈCNICA / ETSECCPB

M. Rosa Estela - Eva Cuello Ángeles Carmona

Cálculo Problemas y soluciones

EDICIONS UPC

Primera edición: septiembre de 2000

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

© ©

Los autores, 2000 Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es

Producción:

CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-31.231-2000 ISBN: 84-8301-390-8

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas enlas leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

PROLOGO

Este libro es una recopilacion de problemas propuestos a los estudiantes de ingenier a civil de los ultimos cursos. Esta dividido en diez cap tulos, quecorresponden a un primer curso de calculo de una y varias variables de una carrera tecnica. El libro se completa con las soluciones de los ejercicios que son el resultado del esfuerzo y la perseverancia de M. Rosa Estela y ayudan a dar mayor seguridad al estudiante que realice los ejercicios. De este modo, sirve no solo como complemento a la teor a, sino tambien para que el estudiante aprenda acrear y elaborar sus propios razonamientos. Queremos agradecer las sugerencias y aportaciones de algunos profesores del Departamento, especialmente de Anna Serra, Agust n Medina y Andres Encinas, y de los estudiantes de las titulaciones de Ingenier a de Caminos e Ingenier a Geologica. Esperamos que el lector sepa disculpar los posibles errores no detectados. En este sentido, cualquier indicacion alrespecto sera bien aceptada. Barcelona, 24 de mayo de 2000 M. Rosa Estela Eva Cuello Angeles Carmona

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000

Indice

7

Indice
Cap tulo 1. Cap tulo 2. Cap tulo 3. Cap tulo 4. Cap tulo 5. Cap tulo 6. Cap tulo 7. Cap tulo 8. Cap tulo 9.

Numeros reales y complejos Topolog a Sucesiones

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

9::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

17 21 27 33 47 63 87 97

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Series numericas

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Funciones: L mites y continuidad

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Calculo diferencial para funciones reales de variable real Calculo diferencial para funciones de variablevectorial Integral de Riemann unidimensional Integral multiple de Riemann

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::::::::::::::

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Cap tulo 10.

Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101

©Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000

Numeros reales y complejos

9

Calculo. Problemas y soluciones Cap tulo 1. Numeros reales y complejos
1.-

>A que intervalos corresponden los siguientes subconjuntos de numeros reales?:

fx 2 IR : x2 + x + 1 0g fx 2 IR : x < 0 y x2 + x ; 6 < 0g r 2 fx 2 IR : x2 + 1 2 IRg x ;1 2x + 1 < 1g fx 2 IR : x + 2 fx 2 IR : (2x + 1)6(x ; 1) 0g fx 2 IR :x2 + 1 = 0g
2.-

fx 2 IR : x2 + x < 2g fx 2 IR : x < x2 ; 12 < 4xg fx 2 IR : x ; 2 < 0g x+3 2; fx 2 IR : x ; 14 0g x fx 2 IR : (x2 + 1)(x2 + 4)(x3 ; 1) = 0g fx 2 IR : x2 ; 2x + 1 0g

Demostrar que si a 2 IR+ , entonces se veri ca:

i) ii) iii)
3.-

jxj a () ;a x a jxj > a () x < ;a o x > a p p x2 a () ; a x a

8x 2 IR 8x 2 IR 8x 2 IR

Encontrar los intervalos correspondientes a los...
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