Solucionario De Econometria

IAECONOMETRÍA I – Ciclo 2011-I

PRÁCTICA 1 – SOLUCIONARIO

1. Dado el modelo lineal yi= + xi + i
Demostrar que los estimadores de MCO de los parámetros son:

Solución:
Según el modelo lineal yi = + xi + i , el objetivo es encontrar las expresiones para los estimadores de los coeficientes en el modelo, lo cual se puede realizar a través del método de MCO. Estemétodo supone la minimización de la suma de los errores al cuadrado, analíticamente:

Min e2 = Y-Y2=Y-α-Xβ2

El problema anterior de minimización de una ecuación se desarrolla:

de2 d α=-2Y-α-Xβ= -2e =0 (i)

de2 d β=-2Y-α-Xβ(X)=-2e X=0 (ii)

De (i) : Y=α+Xβ ⟹ Y=nα+βX 1era Ec.Normal

De (ii) : YX=αX+X2β ⟹YX=αX+βX2 2da Ec.Normal

El sistema de ecuaciones normales presenta dos ecuaciones con dos variables, para encontrar su solución, las expresamos matricialmente. Así:

nXXX2αβ= YYX

α= YXYXX2nXXX2= YX-YXXnX2-X2

β= nYXYXnXXX2= nYX-XY nX2-X2

Para el estimador β resolvemos de manera independiente tanto el numerador como el denominador. De tal manera que:

nYX-XY=YX-nXnYn= YX-nXY= Y-YX-X=Sxy

nX2-X2= X2- nXnXn= X2-nX2= X-X2= Sx2

⟹ β= Sxy Sx2= Cov(X,Y)Var(X)

Para simplificar podemos definir las siguientes variables:

x=X-X
y=(Y-Y)

Esta notación se utilizará para representar las desviaciones con respecto a los valores medios de X e Y, y también para estimar el modelo en desviaciones en un capítulo posterior. Esta representación resultauna herramienta interesante para demostrar algunas propiedades del estimador de MCO.

Por otro lado, el intercepto de la función de regresión muestral α puede representarse utilizando la primera ecuación normal y dividiendo ésta entre el tamaño muestral (n):
α=Y-βX
Con esto se demuestra una propiedad importante del estimador mínimo cuadrático: si el modelo tiene un intercepto, la línea deregresión pasa por los valores medios de Y y X.
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Solucionado por el Grupo 2: ALMEYDA CANDIOTI JORGE GIAN PIERRE ; GARCIA RAMIREZ JHACK; LLAVE PUMA CARLOS ; MORILLO BLAS MANUEL MARTIN ; RIVERA ROJAS JOSE JAIRO .

2. En un estudio de 89 empresas, la variable dependiente es el Costo total (Y) y las variables explicativas son Tasa deproducción (X1) y Tasa de absentismo (X2), las medidas de resumen obtenidas para esta muestra son:

a) Estime los parámetros para el modelo de regresión lineal del Costo total en función de la Tasa de producción y la Tasa de absentismo. Interprete los coeficientes estimados.
b) Obtenga la estimación de la varianza de las perturbaciones.

Solución:

a) Estimación de parámetros deY=β0+β1X1+β2X2+εi
Hallando β:
X'X=nX1iX2iX1iX1i2X1iY2iX2iX1iY2iX2i2
Obteniendo los datos para la matriz X'X:
X1in=X1 X1i=892.9=258.1
X2in=X2 X2i=893.9=347.1
X2i-X22=967.1 X2i2-2X2iX2+X22=967.1
X2i2-2X2X2i+nX22=967.1 X2i2-23.9347.1+893.92=967.1 X2i2=2320.79
X1i-X12=50.5 X1i2-2X1iX1+X12=50.5 X1i2-2X1X1i+nX12=50.5
X1i2-22.9258.1+892.92=50.5X1i2=798.99

X1i-X1X2i-X2=-66.2
X1i-X1X2i-X2=-66.2
X1iX2i-X1iX2-X2iX1+X1X2=-66.2
X1iX2i-X2X1i-X1X2i+X1X2=-66.2
X1iX2i-3.9258.1-2.9347.5+893.92.9=-66.2
X1iX2i=940.39
Entonces obtenemos la matriz X'X
X'X=89258.1347.1258.1798.99940.39347.1940.392320.99

X'X-1=0.1938-0.0570-4.0770-0.05700.01981.5152-4.07701.51501.0340

Hallando la matriz X'Y:X'Y=YiX1iYiX2iYi
X1i-X1Yi-Y=36.8
X1iYi-YX1i-YiX1+X1Y=36.8
X1iYi-YX1i-X1Yi+X1Y=36.8
X1iYi-5.8258.1-2.9516.2+892.95.8=36.8
X1iYi=1533.78
X2iYi=2052.28
Yi=5.889=516.2
Entonces tenemos que:
X'Y=516.21533.782052.28

Sabemos que β=X'X-1X'Y
Operamos para obtener β :
β=0.1938-0.0570-4.0770-0.05700.01981.5152-4.07701.51501.0340516.21533.782052.28...