Solucionario Matemáticas

SOLUCIONARI
LES

DE ACTIVITATS

Matemàtiques 1

·
1

U NITAT NOMBRES
Pàgina 12 Reflexiona i resol El pas de Z a Q
REALS

DIDÀCTICA I NOMBRES

1
COMPLEXOS

Pàgina 13 El pas de Q a Á
■ Intenta resoldre, sense sortir de Q, les

■ Imaginem que només es coneguessin

els nombres enters, Z. Sense utilitzar cap altre tipus de números, intenta resoldre les equacions següents: a)3x = 15; b) –2x = 18; c) 11x = –341; d) 4x = 34 Les tres primeres es poden resoldre en Z, ja que les seves solucions són nombres enters. Per poder resoldre la quarta, necessitem els nombres racionals. Perquè les equacions del tipus ax = b tinguin sempre solució, inventem el conjunt dels nombres racionals, Q: Si a i b són racionals i a ≠ 0 , llavors x = b/a és racional. a) x = 5; b) x = –9; c) x =–31; d) No es pot resoldre. ■ Digues quines de les equacions següents es poden resoldre en Z i per a quines és necessari el conjunt dels nombres racionals, Q. a) –5x = 60 b) –7x = 22 c) 2x + 1 = 15 d) 6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f ) –x + 7 = 6 b) x = – 22 7 d) x = 2 e) x = – 4 3 Per a b) i e), necessitem Q. a) x = –12 c) x = 7; f) x = 1

equacions següents: a) 3x2 – 12 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 c) 2x2+ x – 1 = 0 d) x2 – 2 = 0 Les tres primeres tenen solucions racionals, però la quarta, no, ja que no hi ha cap nombre racional el quadrat del qual sigui 2. Aquesta equació sí que es pot resoldre en el conjunt Á dels nombres reals. a) x1 = –2, x2 = 2 b) x1 = 2, x2 = 4 c) x1 = –1, x2 = 1 d) x2 = 2 → No es pot 2 resoldre.
■ Resol, ara, les equacions següents:

a) x2 – 9 = 0 b) 5x2 – 15 = 0; c) x2– 3x – 4 = 0 d) 2x2 – 5x + 1 = 0 e) 7x2 – 7x = 0 f ) 2x2 + 3x = 0 Quines equacions es poden resoldre en Q? Per a quines equacions és necessari el conjunt dels nombres reals, Á? a) x1 = –3, x2 = 3 b) x1 = – √3 , x2 = √3

c) x1 = –1, x2 = 4 d) x1= 5 – √17 , 4 5 + √17 ; x2 = 4 e) x1 = 0, x2 = 1 f ) x1 = – 3 , x2 = 0 2 Per a b) i d), necessitem Á. Á encara no és suficient
■ Intenta resoldre en Áles equacions

següents: a) x2 – 2 = 0 c) 5x2 – x – 2 = 0

b) 2x2 – 5x + 1 = 0 d) x2 + 1 = 0

Matemàtiques 1

·
3

Matemàtiques 1

·
4

NOMBRES

REALS

I

NOMBRES

COMPLEXOS
3

e) x2 – 2x + 5 = 0

f ) 5x2 + 10 = 0

N: 5, √64
)

a) x1 = – √2 , x2 = √2 b) x1= 5 – √17 , x2 = 5 + √17 4 4 c) x1= 1 – √41 , x2 = 1 + √41 10 10 2 d) x = –1 → No es pot resoldre. e) x = 2 ±√–16 → No es pot resoldre. 2 2 f ) x = –2 → No es pot resoldre. Les tres primeres han pogut resoldre’s, però les tres últimes no, ja que s’arriba a expressions com ara: √–1 , √–16 , √–2 La nova ampliació numèrica haurà de donar validesa a aquestes expressions. ■ Resol les tres últimes equacions, d), e) i f ), utilitzant per a les solucions nombres reals i l’expressió √–1 . Observa que √–16 = √16 ·(–1) = 4 √–1 i √–2 = √2 √–1 d) x = ± √–1 , x1 = – √–1 , x2 = √–1 e) x1 = 1 – 2 √–1 , x2 = 1 + 2 √–1 f ) x1 = – √2 √–1 , x2 = √2 √–1 Pàgina 15

Z: –2, √–27 , 5, √64 Q: 4,5, 7, 3, –2, √–27 , 5, √64 Á: són tots excepte √–8 No reals: √–8 2. Situa els nombres de l’exercici anterior en les caselles següents. Cada nombre pot estar en més d’un. Afegeix un nombre més (que t’inventis) a cada casella.Naturals, N: 5, √64 , 2 3 Enters, Z: –2, √–27 , 5, √64 , 2, –8 3 ) Racionals, Q: 4,5, 7,3, –2, √–27 , 5, √64 , 2, –8, 2,3 3 Reals, Á: tots els anteriors més √3 , – √6 , √5 No reals: √–8 , √–3
3

3. Representa els conjunts següents: a) (–3, –1) b) [4, +∞) c) (3, 9] d) (–∞, 0) a)
–3 0 0 3 –1 0 4 6 0 9

Pàgina 14 1. Situa els nombres següents en el diagrama: 3 ) 3 √3 ; 5; –2; 4,5; 7,3; – √6 , √64 ,√–27 , √–8
R 3 –3 6 Q 4,5 7,3

b) c) d)

Z –2 3 –27

N 5, 64

4. Representa els conjunts següents: a) {x/–2 ≤ x < 5} b) [–2, 5)∪(5, 7] c) (–∞, 0)∪(3, +∞) d) (– ∞, 1)∪(1, +∞) a) –2 b) –2
0 0 5 5 7

NOMBRES
c) d)
0 0 1 3

REALS

I

NOMBRES

COMPLEXOS
4 3

8. Quin és més gran, √31 o √13 ?
4

3 3 √31 = √31 = √29791 ⎪ 4 ⎨ √31 > √13 12 12 ⎪ 3 4 √13 = √13 = √28561 ⎩...