Solución de productos notables

Subtema 2.2.1
Representa y resuelve situaciones de su entorno, mediante la aplicación y desarrollo de productos notables, factorización y racionalización de expresiones algebraicas.
A. Solución de productos notables
Binomio al cuadrado.
Binomios conjugados.
Binomios con término común.
Binomio al cubo.
B. Factorización de expresiones algebraicas.
Factor común.
Diferencia de cuadrados.Trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Binomio de la forma x3+y3
C. Aplicación de expresiones algebraicas racionales.
Operaciones con expresiones algebraicas racionales.
Simplificación de expresiones algebraicas racionales.

Binomio al cuadrado. Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:
.
La operación se efectúa del siguiente modo:

De aquí sepuede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.
Binomios conjugados. El binomio conjugado de uno dado, es otro binomio que se diferencia únicamente por el signo de uno de los términos.

Por ejemplo: a – b es el binomio conjugado de a + b.
También se suele decir que a – b es el conjugado del binomio a + b.
Productode dos binomios conjugados
El producto de dos binomios conjugados es un producto notable y su resultado es una diferencia de cuadrados perfectos:
Ejemplo:
(a+b) (a-b)=a2 - b2 (el numero 2 significa al cuadrado)
Ejemplo:
(-x+y) (x+y)= -x2 + y2 (el numero 2 significa al cuadrado)
Hallar el producto de los binomios conjugados:
(3x+4) (3x-4)
Solución: de acuerdo a la forma del productode binomios conjugados:
(3x+4) (3x-4) = (3x)² - (4)² = 9x² - 16
Binomios con término común. Dos binomios con un término en común serían ( 3x +5) (3x – 2); el término común es 3x y los términos no comunes son +5 y –2.
        El producto de dos binomios con un término en común, es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla:
        a) Primerose saca el cuadrado del término común.
        b) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común.
        c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplo:
        1.- ( 3x +5) (3x – 2)= 9x2 + 9x – 10
        a) El cuadrado del término común.
        (3x)2= (3x) (3x) = 9x2
        b) La suma de los términos no comunes por el término común.
        (+ 5-2)(3x) = (3) (3x) = +9x
        c) Se multiplican los términos no comunes.
        (5) (-2) = -10
        2.- ( x + y) (x + z) = x2 + x ( y x z)
        a) el cuadrado del término común (x)2 = x2
        b) La suma de los términos no comunes por el término común.
        (y + z) (x) = x (y + z)
        c) la multiplicación de los términos no comunes.
        (y) (z) = yz
       Comprobando por medio de la multiplicación.

        x2 + xy + xz + yz = x2 + xy + xz + yz
Binomio al cubo. Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupandotérminos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.


Factor común. El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para estaoperación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y
Ejemplo:


Diferencia de cuadrados. Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar...