sombra

Serie convergente
En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.
Definición formal
Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espaciovectorial normado).
La serie de término general converge cuando la sucesión de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,
.
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
.
La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.
Serie divergente
Una serie divergente esuna serie infinita que no es convergente serie convergente, significa que la secuencia infinita de sumas paricales de la serie no tiene un limite.
Si una serie converge, los terminos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así, alguna serie en que los terminos individuales no se aproximan a cero, es una serie divergente. Sin embargo, en el caso de la convergencia, el hecho de que laserie se aproxime a cero no es condicion suficiente. Esto se puede ejemplificar, con la serie harmonica:

La divergencia de la serie armónica fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme.


A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½
.Criterio de d'Alembert (criterio de la razón)
El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.
Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos al límite para tendiendo a infinito de se obtiene un número , con lossiguientes casos:
Si converge.
Si diverge.
Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
Definición
El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Sea:
Tal que:
(o sea una sucesión de términos positivos) y
tienda a cero cuando tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Seprocede de la siguiente manera:
con tendiendo a infinito.
Así obtenemos y se clasifica de la siguiente manera:
la serie converge
la serie diverge
el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.
Ejemplo
Sea:
Clasificar
a)
b) tiende a cero conforme crece (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)
c) Aplicando D'Alembert (ejemplo):

y como , la serie converge.Criterio de la raíz
En matemática, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

donde son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.El criterio
El criterio de la raíz fue desarrollado por Cauchy y por lo que también a veces es conocido como criterio de Cauchy de la raíz o simplemente criterio de Cauchy . Para una serie

el criterio de la raíz utiliza el número

donde "lim sup" denota el límite superior, que puede llegar a ser ∞. Tenga en cuenta que si

converge, entonces es igual a C y puede ser utilizado en elcriterio de la raíz.
El criterio de la raíz establece que:
Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y de cierto en adelante, entonces la serie diverge.
En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, ....