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Movimiento relativo: Generalidades

En Física, dado que los observadores en general están en movimiento unos respecto de otros, es importante determinar como hay que expresar las relaciones de las magnitudes en consideración en diferentes sistemas de coordenadas que están, en general, moviéndose uno respecto de otros. En este capítulo de la cinemática nos interesamos, por tanto, en ver como serelacionan las magnitudes (posición, velocidad y aceleración) expresadas en diferentes sistemas de coordenadas.
El esquema general del problema lo podemos fijar observando el dibujo, que muestra un sistema de referencia que suponemos fijo (X,Y,Z) y otro que se supone en movimiento respecto de él (X',Y',Z').

[pic]
De la figura se deduce inmediatamente que

[pic][pic]
Derivandosucesivamente respecto del tiempo tenemos que
[pic][pic]
y
[pic][pic]

La evaluación de estas expresiones la vamos a realizar a partir de casos particulares sencillos, para finalmente llegar a una expresión general.

Movimiento relativo de traslación uniforme.

Supongamos primero que los sistemas de referencia O y O' se mueven el uno respecto del otro con velocidad constante y de modo que los ejesmantienen continuamente sus orientaciones relativas. Más aún, supongamos que los ejes X y X' son colineales y los ejes Y e Y' y Z y Z' son paralelos, de tal manera que un sistema de referencia se mueve respecto del otro con una velocidad constante en módulo que denotamos por [pic][pic].
[pic]
Si suponemos, por simplicidad que en t=0 los orígenes coincidían tenemos que podemos expresar larelación entre r y r' como
[pic][pic]
es decir, expresándolo en componentes
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Si añadimos a estas ecuaciones
[pic][pic]
Ya que se ha dicho antes que en Mecánica Clásica se supone el tiempo absoluto, esto es, independiente del sistema de referencia, se tienen lo que se llaman las transformaciones de Galileo, y que son la expresión de como pasar de un sistema dereferencia a otro en el caso de traslación uniforme.
Derivando las ecuaciones respecto del tiempo para encontrar la velocidad tenemos:
[pic][pic]
y

[pic][pic]
Derivando la ecuación entre r y r' tenemos entonces que

[pic][pic]
Que muestra la relación entre las velocidades en los sistemas de referencia con y sin primas(').

Derivando la expresión anterior para obtener la velocidad se tiene[pic][pic]

Que muestra que la aceleración medida por uno y otro observador situado en cada uno de los sistemas de referencia es la misma.

Movimiento relativo de rotación uniforme.

Consideremos ahora dos sistemas de referencia con un origen común que giran con una velocidad angular [pic][pic]uno respecto de otro.

[pic]
Resulta claro del dibujo que la posición de cualquier puntoviene descrita por r o r', que resultan ser el mismo vector
[pic][pic]
Aunque cada uno de ellos se expresa en su sistema de coordenadas.
[pic][pic]
[pic][pic]

siendo claro por lo anterior que
[pic][pic]
Derivando en esta ecuación respecto del tiempo tenemos
[pic][pic]
(*)
donde es importante notar que al girar los vectores unitarios del sistema en movimiento respecto es preciso contemplarsus derivadas temporales, lo que da origen a los tres últios términos.
Para evaluar las derivadas de los vectores unitarios, que simplemente iran sin cambiar su tamaño, recordemos que vimos que
[pic][pic]y por tanto en el sistema móvil [pic][pic]
Esto es válido para todos los vectores. En particular para los vectores unitarios se tiene
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Luego podemos poner(*)= [pic][pic]
y sustituyendo en la derivada respecto del tiempo de [pic][pic]
[pic][pic]
Esta es la expresión que relaciona las velocidades en uno y otro sistema de coordenadas.

La Aceleración.

Derivando la velocidad tenemos lo siguiente

[pic][pic]

Por otro lado,derivando en la expresión hallada para la relación de las velocidades en uno y otro sitemas de coordenadas tenemos...
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