Srie infinita

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4.1.2 Serie Infinita

Una serie es la suma de los términos de una secuencia, las secuencias finitas y las series se han definido en última y en primeros términos, mientras que las secuencias de la serie infinita continuan indefinidamente. En matemáticas, dado un infinita secuencia de números { un n }, una serie informal es el resultado de sumar todos los términos entre sí: un 1 + un 2 + un 3 ·· · +. Estos se pueden escribir de forma más compacta con el sumatorio E símbolo. Un ejemplo es la famosa serie de la dicotomía de Zenón

Los términos de la serie se han elaborado con arreglo a una norma determinada, como por una fórmula, o por un algoritmo . Como hay un número infinito de términos, esta noción a menudo se llama una serie infinita. A diferencia de sumas finitas, serie infinitanecesidad de herramientas de análisis matemático para ser plenamente entendida y manipulada. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas son también ampliamente utilizado en otras disciplinas cuantitativas, tales como la física y la informática.

Propiedades basicas
La serie puede estar compuesta de los términos de cualquier uno de los muchos juegos diferentes, incluyendo losnúmeros reales, números complejos y funciones. La definición que se da aquí será para los números reales, pero se pueden generalizar.
Dada una secuencia infinita de números reales { un n }, se define

Llame S N la suma parcial de N de la secuencia { un n }, o la suma parcial de la serie . Una serie es la sucesión de sumas parciales { S n }. Observe que la suma parcial toma como entrada unasecuencia, { un n }, y da como salida otra secuencia, { S n } - la suma parcial es, pues, una operación unaria en las secuencias. Además, esta función es lineal , y por lo tanto es un operador lineal en el espacio vectorial de las secuencias, que se denota Σ. El operador inverso es el de diferencias finitas del operador, Δ. Estas se comportan como análogos discretos de integración y diferenciación ,sólo para la serie (las funciones de un número natural) en lugar de las funciones de una variable real. Por ejemplo, la secuencia {1, 1, 1, …} tiene la serie {1, 2, 3, 4, …}, que es análogo al hecho de que 

Posibles confusiones
Cuando se habla de la serie, uno puede hacer referencia a la secuencia { S n } de las sumas parciales, o para la suma de la serie ,

es decir, el límite de la sucesiónde sumas parciales - está claro cuál es el significado del contexto. Para hacer una distinción entre estos dos objetos completamente diferentes (la secuencia vs valor acumulado), a veces omite los límites (en la cima y por debajo de la suma de símbolo), como en

para referirse a la formal serie, que pueden o no pueden tener una cantidad definida.

Serie convergente
Una serie E un n  se diceque “convergen” o para “ser convergentes” cuando la secuencia SN de sumas parciales tiene un número finito de límite. Si el límite de S N es infinito o no existe, la serie se dice que divergen. Cuando el límite de sumas parciales existe, se llama la suma de la serie

Una manera fácil de que una serie infinita pueden converger es si todos los un n son cero para n suficientemente grande. Esta seriepuede ser identificada con una suma finita, por lo que sólo es infinito en un sentido trivial.

La elaboración de las propiedades de las series que convergen, aunque infinitamente muchos términos son distintos de cero es la esencia del estudio de la serie. Consideremos el ejemplo

Es posible “visualizar” su convergencia en la recta real: podemos imaginar una línea de longitud 2, con segmentossucesivos marcados fuera de las longitudes de 1, 1/2, 1/4, etc siempre hay espacio para marcar el siguiente segmento, ya que la cantidad restante de la línea siempre es el mismo que el último segmento marcados: cuando nos han marcado fuera de ½, todavía tenemos un pedazo de media longitud sin marcar, por lo que sin duda puede marcar el 1/4 siguiente. Este argumento no demuestra que la suma es...
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