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La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verificaque:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x).Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo deNewton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:
[pic]
aplicando leyes dela exponenciación
[pic]
Entonces, por la fórmula de Euler,
[pic]

Derivaciones
Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:
[pic]
Si hacemos que x = π entoncestenemos la fórmula de Euler:
[pic]
Es decir:
[pic]
Además como tenemos estas dos igualdades:
[pic]
[pic]
podemos deducir lo siguiente:
[pic]
[pic]Aplicaciones
Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
[pic]
Si el número complejoestá en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:
[pic]

Raíces

Para obtener las nraíces de un número complejo, se aplica:
[pic]
donde k es un número entero que va desde 0 hasta n − 1, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n raíces diferentes de z.
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