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Resolución de triángulos. Teoremas del seno y del coseno

45. Calcula el área de cada uno de los triángulos siguientes, sabiendo:

a) b = 30 cm, A = 50º y B = 74º

b) a = 41 cm, C = 45º, y B = 75º

c) a = 18 cm, b = 15 cm, C = 19º 42'

d) a = 6 cm, b = 12 cm, A = 17º30'

e) a = 33 cm, b = 24 cm, c = 20 cm

Soluciones:

a) c = 30 · sen 56º/sen 74º Área = b/2· c ·sen A = 15 · 30 · sen 56º· sen 50º/sen 74º [pic] 297,303 cm2

b) c = 41 · sen 45º/sen 60º Área = a/2 · c ·sen B = 41 · 41 · sen 45º· sen 75º/2sen 60º [pic] 662,881cm2

c) Área = a · b · sen C /2 = 18 ·15 · sen 19º42'/2 [pic] 45,709 cm2

d) Hay dos posibles triángulos:

d1) B [pic] 36º58'15,83'', C [pic] 125º31'44,17'', c[pic] 16,238 cm

Área = b · a · sin C/2 [pic] 29,298cm2

d2) B [pic] 143º1'44,17'', C [pic] 19º28'15,83'', c[pic] 6,651 cm

Área = b · a · sin C/2 [pic] 12 cm2

e) Área = a · b · sen C / 2 ; cos C = (a2 + b2 - c2 )/2ab y sen C = [pic], por tanto: cos C [pic]0,79861 y sen C [pic]0,60185 ( Área = 283,332 cm2

46. El ángulo entre los dos lados iguales de un triángulo isósceles es de 40º y el lado desigual tiene una longitud de 40 cm.¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados iguales del triángulo?

Solución: 58,48 cm cada uno, aproximadamente

Los ángulos iguales del triángulo miden 70º cada uno. Aplicando el teorema del seno:

l = 40 · sen 70º /sen 40º ( 58,48 cm

47. El ángulo agudo de un rombo mide 25º. El lado mide 13 cm. Calcula el área del rombo.

Solución: A ( 142,84 cm2

Aplicando el teorema del coseno,[pic] y [pic], siendo D y d las dos diagonales del rombo.

Sacando factor común: [pic] y [pic]

Podemos calcular el área: A = d·D/2 ( 142,84 cm2

48. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 11 cm y 13 cm, respectivamente. Calcula el valor del seno del ángulo más pequeño.

Solución: sen α = 0,612836428. . .

El ángulo más pequeño es el opuesto al lado de longitud 8 cm. Aplicando el teoremadel coseno:

[pic]

Despejando:: [pic]

Teniendo en cuenta que sin α = [pic], o utilizando la calculadora :

sen α = 0,612836428. . .

49. Los tres ángulos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula sus ángulos y su área.

Solución: 40,80º, 60,61º y 78,59º, 23,52 cm2 aproximadamente.

Aplicando el teorema del coseno se pueden obtener los ángulos: 40,80º, 60,61º y 78,59ºA = 9 · 8 · sen 40,80º /2 ( 23,52 cm2

50. En un triángulo ABC, conocemos A = 34,5º, B = 78º y a + b = 43 cm. Calcula cuánto miden los lados a y b.

Solución: a ( 17,76 cm, b ( 25,24 cm

Podemos plantear: [pic] y se obtiene que: b ( 25,24 cm y a ( 17,76 cm

51. En un triángulo ABC, conocemos a = 15 cm, b = 11 cm y A + B = 104º. Calcula cuánto miden los ángulos A y B.

Solución: A (63 8'23,36'' y B = 40º 51' 36,64''

El ángulo C mide 76º

Aplicando el teorema del coseno podemos encontrar c ( 16,3146, para encontrar A y B:

sen A = 15 · sen76º/c ( A ( 63 8'23,36'' y B = 40º 51' 36,64''

52. En un triángulo ABC, conocemos A - B = 16º, a = 23 cm y b = 19 cm. Calcula los ángulos del triángulo.

Solución: A ( 63º 52' 34,69'', B ( 47º 52' 34,69'' y C ( 68º 14'50,62''

A = 16º + B

Por el teorema del seno: [pic] (

( 23 · sen B = 19(sen 16º · cosB + sen B · cos 16º)(

(sen B (23 -19 · cos 16º) = 19 sen 16º· cos B (

( tg B = [pic] ( B ( 47º 52' 34,69''

A = 16º + B ( 63º 52' 34,69'' y C = 180º - A - B ( 68º 14' 50,62''

53. Demuestra que en todo triángulo ABC, se cumple la igualdad:

[pic], conocida como Teorema de Nepper. (Indicación:debes usar el teorema del seno para escribir la relación entre a y b)

Solución:

Por el teorema del seno: a = [pic]. Sustituimos:

[pic]. c.q.d.

54. En los lados de un triángulo ABC se cumple que b - a = 1 y c - b = 1, y se tiene que cos A = 0,6. Calcula a, tg (B/2) y sin 2C

Solución: a = 1 tg (B/2) = [pic] y sin 2C = [pic]

Los lados son a, b = a + 1 y c = a + 2....
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