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Una razón por la que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, es que permite la representación de fracciones. Utilizando el algoritmo de la división, una simpledivisión de enteros como 1/9, se convierte en el decimal periódico 0,111..., en el que los dígitos se repiten sin fin. Este ejemplo se utiliza para dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada dígito, así 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo que implica que 0,999... = 1

[pic]

Una alternativa, también muy frecuente, es utilizar 1 = 1/3= 0,333... y multiplicar por 3.



Para 0,999... se puede aplicar el teorema de convergencia de las series geométricas:6

Si [pic] entonces [pic]

Dado que 0,999... es una suma de este tipo,con [pic], el teorema resuelve rápidamente la cuestión:

[pic]

Esta demostración (de hecho, que 10 es igual a 9,999...) aparece ya en 1770 en Elementos de álgebra de Leonhard Euler.7

[pic][pic]
Límites: el intervalo unidad, incluyendo la sucesión de fracciones (en base 4): [pic] que converge a 1.



La suma de series geométricas en sí, son un resultado anterior a Euler. Unademostración típica del siglo XVIII utiliza una manipulación término-a-término similar a la demostración algebraica antes expuesta; en 1811, el libro de texto de Bonnycastle Una Introducción alÁlgebra utiliza una serie geométrica de este tipo para justificar la misma maniobra sobre 0,999....8 Una reacción del siglo XIX contra tales métodos de adición liberales resultó en la definición que aún dominahoy: la suma de una serie se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula explícitamente esta sucesión; se puede encontrar encualquier introducción al cálculo o el análisis basado en la demostración.9

Una sucesión (x0, x1, x2, ...) tiene por límite x si la distancia |x − xn| se vuelve arbitrariamente pequeña a medida...
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