Sucecciones y series

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SUCESIONES Y SERIES

SUCESIÓN.-

Una sucesión es una lista infinita de términos que siguen una regla.

Presentación: Sucesión [pic]

[pic]: Términos de la sucesión.

[pic]: Término general de la sucesión.
[pic]: Término anterior a [pic].
[pic]: Término siguiente a [pic] siendo [pic].

Ejemplo de sucesión:

¿Cuál regla se aplica en la siguiente sucesión?: [pic]

Respuesta: Laregla que se aplica es que a cada número entero positivo se le asigna su inverso.

Definición:

Una sucesión [pic] es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, a los que denotaremos [pic], y su rango es el conjunto R de los números reales. Los valores funcionales [pic] son llamados términos de la misma y [pic]es el término general.

Si por utilidad lasucesión se define así: [pic]; es decir que se escribe desde [pic], entonces la definición es la siguiente:

Definición:

Una sucesión [pic]es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros no negativos, a los que denotaremos [pic], y su rango es el conjunto R de los números reales. Los valores funcionales [pic] son llamados términos de la misma y [pic]es el término general.SERIES.-

La suma de los términos de una sucesión es una serie. Si la sucesión es [pic], la serie correspondiente se denota [pic].

Si la sucesión es finita, la serie correspondiente es finita. Si la sucesión es infinita, la serie también lo será.

Ejemplo:

Sucesión: [pic] (finita)[pic]Serie: [pic] (finita).

Las series se presentan abreviadas mediante sumatorias:

Sumatorias.-[pic]

Ejemplos:
[pic]

Propiedades de las sumatorias:

|[pic] |[pic] |
| |(Propiedad telescópica) |
|En consecuencia: ||
| | |
|[pic] |[pic] |

Sumatorias notables:

|[pic]|
|[pic] |

Cambio de variable en las sumatorias.-

Sea [pic] con [pic], una sucesión de números enteros positivos tal que:

[pic]

Sea [pic], una función que define una correspondencia biunívoca tal que:

[pic]

Se define la correspondencia entre [pic] y [pic] de modo que:[pic]

SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS.-

SUCESIÓN ARITMÉTICA (SA).-

Una sucesión: [pic] se llama sucesión o progresión aritmética si existe una constante d, llamada diferencia común, tal que [pic] ó [pic] para cualquier [pic].

Si [pic]la sucesión es creciente; si [pic]es decreciente.

Ejemplo: [pic] (SA creciente).

Aprovechemos este ejemplo para hacer algunas deducciones.Observen que:

[pic]

Es decir que si queremos obtener [pic], procedemos de la siguiente manera: [pic]ya que de la estructura de los términos anteriores se tiene que: [pic]

TÉRMINO ENÉSIMO (n-simo) Y TÉRMINO CUALQUIERA DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA.-

Por lo tratado en el aparte anterior, es posible establecer un algoritmo que permita determinar cuál es el término general, [pic], de una SA:[pic]

Expresión que podemos extender para un término cualquiera de una SA de la siguiente manera:

Sean [pic] y [pic] términos de una SA tal que [pic] ; entonces se puede obtener [pic] a partir de [pic], siempre que se conozca a d, mediante la siguiente expresión:

[pic]

SERIES ARITMÉTICAS FINITAS.-

Si [pic]es una sucesión o progresión aritmética, entonces...
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