Sucecion aritmetica

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA
Ingeniería eléctrica

Calculo diferencial
UNIDAD 2

Temas:
• Las sucesiones aritméticas y geométricas
• Funciones implícitas

Castillo Naranjo Mario Jesús

Pachuca Hgo., a 26 de septiembre del 2010
Sucesión aritmética
Una sucesión [pic]es una sucesión aritmética si hay un número real [pic]tal que para todoentero positivo [pic],

[pic].
El número [pic]se le llama diferencial común de la sucesión.
Dada una sucesión aritmética:
[pic]k+1 = a[pic]+ d
Para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar términos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. Obtendremos una sucesión aritmética con diferencia común d con solo agregar d aa1, luego a a1+d y así sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común [pic]es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

[pic]

Teorema: fórmulas para [pic]

Si [pic]es una sucesión aritmética con diferencia común [pic], entonces la n-ésima suma parcial [pic](estoes, la suma de los primeros [pic]términos), está dada por
[pic] o [pic]

Demostración

Podemos escribir
[pic]
[pic].

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
[pic],

con [pic]veces dentro del primer par de paréntesis. Así
[pic].

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros [pic]enteros positivos. Conla fórmula para la suma de los primeros [pic]enteros positivos, [pic], entonces tenemos
[pic]

Sustituimos en la última ecuación por [pic]y factorizamos [pic]con lo cual
[pic]

Puesto que [pic], la última ecuación es equivalente a
[pic].

Sucesiones aritméticas
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3,…}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.
Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + bobtendremos el valor:
[pic]
|EJEMPLO A: |

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es:3n + 5.
Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:
[pic]

|EJEMPLO B: |

Notemos la sucesión: –13, –19, –25,–31, –43, –49, –55,…
La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde
n = 1.
De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.
Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en laanterior fórmula:
–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:
[pic]

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión [pic]es una sucesión geométrica si [pic]y si hay un número real...