Sucesion de fibonacci

Sucesión de Fibonacci
Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f10
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

El primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores:
1
\end{cases}

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa porLeonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
Historia
La sucesión de Fibonacci en términos de conejos
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.[1]
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombretenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[2]
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por ÉdouardLucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[3]
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrentede orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición formal
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para
Estoproduce los números

y así sucesivamente hasta el infinito.
Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento dela sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmulaexplícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son

De esta manera,mediante diagonalización de endomorfismos,la fórmula explícita de la sucesión de Fibonaccitiene la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el...