Sucesion de fibonacci

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f10
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

El primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa,matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
Contenido1 Historia2 Definición formal3 Representaciones alternativas3.1 Función generadora3.2 Fórmula explícita3.3 Forma matricial4 Propiedades de la sucesión5 Generalización5.1 Sucesión de Lucas6 Algoritmos de cálculo7 La sucesión deFibonacci, el número áureo y la sección áurea en la naturaleza8 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular9 Referencias10 Véase también11 Enlaces externos |
Historia [editar]

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales comoGopala (antes de 1135)y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja deconejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".2
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsablede haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque n a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dostiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición formal [editar]
Los números de Fibonacci  quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para 
Esto produce losnúmeros

y así sucesivamente hasta el infinito.
Representaciones alternativas [editar]
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora [editar]
Una función generadora para una sucesión cualquiera  es la función , es decir, una serie de potenciasdonde cada coeficiente es unelemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita [editar]
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obteneruna fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
 y 
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma

Si...