Sucesiones de cauchy

Sucesiones de Cauchy
Definición: Una sucesión (sn) n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe algún
N ∈ N (que puede depender de ε) de modo que n,m > N =⇒ |sn − sm| < ε.
Lema.Toda sucesión de Cauchy está acotada.
Demostración. La definición, usada para ε = 1, asegura la existencia de N ∈ N de modo que si
n > N,
Entonces |sn − sN+1| < 1, es decir, sN+1 − 1 < sn< sN+1 + 1. La sucesión (sn) está acotada inferiormente por m´ın{s1,..., sN, sN+1 − 1} y superiormente por m´ax{s1,..., sN, sN+1 + 1}.
Proposición 3.1.26. Una sucesión es convergente si y solo sies de Cauchy.
Demostración. Sea sn → a ∈ R. Sea ε > 0. Por definición de límite, existe N ∈ N de modo que si
n > N, entonces |sn −a| < ε/2. Por tanto, si n,m > N es |sn −sm| = |sn−a+a−sm| ≤ |sn −a|+|sm −
a| < ε/2 + ε/2 = ε.
Recíprocamente, sea (sn) una sucesión de Cauchy. Puesto que está acotada (lema 3.1.25), el teorema 3.1.23 de Bolzano-Weierstrass asegura la existencia de unasubsucesión (sϕ(n)) convergente a un cierto a ∈ R.
Dado ε > 0, existe N ∈ N de modo que si n,m > N, entonces |sn −sm| < ε/2. En particular se tiene
|sn − sϕ(m)| < ε/2. Ahora, tomando límiteen m se llega a que, si n > N es
|sn − a| ≤ ε/2 < ε.

Propiedades
Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:
1. Toda sucesión convergente es unasucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir,el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.

Por ejemplo esta,  que es una sucesión conocida y que es sabido converge a.

Lo que intento aquí es demostrar que es una sucesiónde Cauchy y que por lo dicho anteriormente es convergente

Si para cualquier  existe un número natural  tal que 
Por lo que cualquiera sean  entonces se tiene 

y...