Sucesiones Divergentes

Sucesiones divergentes
Una sucesión es llamada divergente cuando ella no es convergente. Entonces hay dos tipos de sucesiones divergentes:
- Aquellas que tienen un límite infinito.
- Aquellas que no tienen límite.
Recordemos que si {Xn} es una sucesión de números reales no nulos tal que {Xn} → 0, entonces la sucesión {Yn} = {1/Xn} no está acotada, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo,tomando

Tenemos claramente que la sucesión {Yn} no está acotada, ya que {Y2n} = {4n+1}, pero {Xn} no converge a cero, ya que X2n−1 = 1 para todo n ∈ N. Es razonable por tanto la siguiente pregunta: ¿qué condición necesaria y suficiente debe cumplir {Yn} para tener {Xn} → 0?
Tomemos como guía la sucesión {n} de los números naturales, la sucesión {−n} de sus opuestos y la sucesión alternante{(−1) n n}. Las tres son sucesiones no acotadas, pero muestran comportamientos especiales que ahora vamos a catalogar.
Se dice que una sucesión {Xn} de números reales diverge positivamente, cuando para todo K ∈ R puede encontrarse m ∈ N tal que, para n > m, se tiene Xn > K. En tal caso, decimos también que {Xn} tiende a +∞ y escribimos {Xn} → +∞. Simbólicamente:


Equivalentemente, {Xn} → +∞cuando para todo K ∈ R el conjunto {n ∈ N : Xn 6 K} es finito.
De forma análoga, decimos que la sucesión {Xn} diverge negativamente, o que tiende a −∞, y escribimos {Xn} → −∞, cuando para todo K ∈ R existe m ∈ N tal que, para n > m se tiene Xn < K:


Equivalentemente, {Xn} → −∞ cuando para todo K ∈ R el conjunto {n ∈ N : Xn > K} es finito.
Por ejemplo, es evidente que {n} →+∞ mientras que {−n} → −∞.De hecho, para cualquier sucesión {Xn} de números reales, es claro que


Decimos finalmente que una sucesión {Xn} es divergente cuando la sucesión {|Xn|} diverge positivamente. Es claro que si {Xn} → +∞ o {Xn} → −∞, entonces {Xn} es divergente, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo la sucesión {Xn} = {(−1) n n} es divergente, puesto que {|Xn|} = {n}, pero {Xn} no diverge positivamente,porque el conjunto {n ∈ N : Xn 6 0} es infinito, y tampoco diverge negativamente, porque {n ∈ N : Xn > 0} también es infinito.

Sumas con sucesiones divergentes
En lo que sigue vamos a revisar las reglas de cálculo de límites, involucrando sucesiones divergentes. En primer lugar, anotemos criterios de comparación bastante obvios:
Sean {Xn} e {Yn} sucesiones de números reales y supongamos queexiste m ∈ N tal que, para todo n > m, se tiene Xn 6 Yn. Entonces:


Veamos ya lo que ocurre al sumar dos sucesiones convergentes o divergentes. Partimos claro está del hecho conocido de que si {Xn} e {Yn} son sucesiones convergentes, entonces {Xn + Yn} es convergente. Se trata de considerar las restantes posibilidades y todo se deducirá de la siguiente observación:
Sean {Xn} e {Yn} sucesiones denúmeros reales:
(i) Si {Xn} → +∞ e {Yn} está minorada, entonces {Xn +Yn} → +∞
(ii) Si {Xn} → −∞ e {Yn} está mayorada, entonces {Xn +Yn} → −∞.

La comprobación es inmediata. En el caso (i), existe α ∈ R tal que Yn 6 α para todo n ∈ N y, dado K ∈ R, existirá m ∈ N tal que, para n > m, se tiene Xn > K −α, luego Xn +Yn > K. Para (ii) basta aplicar (i) a las sucesiones {−Xn} y {−Yn}.
Convieneobservar que si la sucesión {Yn} es convergente, podemos aplicar (i) y (ii). Por tanto, para cualquier sucesión convergente {Yn}, tenemos que {Xn +Yn} → +∞ si {Xn} → +∞ y que {Xn +Yn} → −∞ si {Xn} → −∞. Por otra parte, si {Yn} → +∞ también podemos aplicar (i), luego si {Xn} e {Yn} divergen
Positivamente, lo mismo le ocurre a {Xn +Yn}. Análogamente, si {Yn} → −∞ podemos aplicar (ii), obteniendo que {Xn+Yn} → −∞ siempre que {Xn} → −∞ e {Yn} → −∞.
Cuando tenemos información menos precisa, el resultado anterior sigue siendo útil. Más concretamente, si {Xn} es divergente e {Yn} está acotada, entonces {Xn + Yn} es divergente.
Basta observar que |Xn +Yn| > |Xn| − |Yn| para todo n ∈ N, luego como {|Xn|} → +∞ y {−|Yn|} está acotada, deducimos que {|Xn| −|Yn|} → +∞ y, por comparación, {|Xn +Yn|}...