Sucesiones Monotonas

INDICE
1.- Sucesiones de números………………………… 1
2.- Series numéricas…………………………………..1
3.- Calculando el límite de una sucesión………….2
4.- Sucesiones Convergentes y Divergentes…….3
5.- Sucesiones monótonas………………………….5
6.- Sucesiones monótonas crecientes……………5
7.- Sucesiones monótonas decrecientes………..5
8.- Sucesiones monótonas acotadas…………….6
9.- Sucesiones monótonas constantes………….6
10.-Sucesiones monótonas acotadas superiormente...6
11.- Sucesiones monótonas acotadas inferiormente…6
12.- Serie aritmética………………………………..6
13.- Serie geométrica………………………………7
14.- Criterios de convergencia para series…….7
15.- Criterios…………………………………………8
16.- Serie de Taylor…………………….................9

Sucesiones de número
Definición. Una sucesión de números es un conjunto de términos formadossegún una ley o regla determinada. Por ejemplo.
1, 4, 9, 16, 26…
y
1, -X, X²/2, X³/3…
Son sucesiones de números.
Serie numérica
Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión. Así, las sucesiones anteriores obtenemos la serie.
1, 4, 9, 16, 26…
y
1, -X, X²/2, X³/3…
Cuando el número de término es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número detérminos es ilimitado, la sucesión o serie se llama serie infinita o una sucesión infinita.
El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de la formación de los términos.
Ejemplo. En la primera sucesión anterior, el termino general o termino enésimo en n². El primer termino se obtiene haciendo n=1, el decimo termino haciendo n=10. Etc.
Ejemplo. En la segunda sucesiónanterior, el termino enésimo, con excepción de n=1, es (-X)n-¹.
n – 1
La sucesión es infinita, se indica por puntos suspensivos, como
1, 4, 9…, n²,…

Calculando el límite de una sucesión
Consideremos la serie geométrica en la que
A=1, r=½
Sn = 1 + ½ + ¼ + … + 1/2n-¹.Según.
Sn = 1 - ½n = 2 - 1____
1 - ½ 2n – 1
Entonces.
Lim Sn = 2 lo que está de acuerdo cuando a=1, r=½,
n ∞
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
1.- a1= 1 a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.
2.- a1= 0.5
a2= 0.6666....a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.
3.- a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.


Sucesiones Convergentes y Divergentes
En la serie:
Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + Un
La variable Sn es una función de n. ahora bien, si hacemos queel número de términos ( = n ) tienda a infinito, puede ocurrir una de las dos cosas siguientes:

Caso 1. Que Sn tienda hacia un límite, digamos u; es decir que
Lim Sn = U
n∞
En este caso se dice que la serie finita es convergente y que converge al valor de U, o que tiene el valor U. En matemáticas, una serie sellama serie convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado.
Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).
La serie de término general  converge cuando la sucesión  de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,
.
En este caso la suma de la serie es ellímite de la sucesión de sumas parciales
.
La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.
Ejemplos:
* Alternar los signos de los recíprocos de los enteros impares produce una serie convergente (ver Serie de Leibniz):

* Los recíprocos de los números triangulares produce una serie convergente:...