Sucesiones y series matematicas

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UNIDAD 6: SUCESIONES Y SERIES
6.8 Series de potencia PAG. 16
6.10 Representación de una función en serie de potencia PAG. 18
INTRODUCCION
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie:1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
6.1 Definición de sucesión
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez dex, habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe un (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).
{draw:frame}
a1, a2, a3,..., an
Los números a1, a2, a3,...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El términogeneral es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

Representación de una *función* (trazo continuo) y una sucesión (puntos rojos)
Definición explícita
La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo únicodonde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: u*n* = f(n).
Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales.
Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:
Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x,entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en]6; 7[da dos máximos relativos de u porque u6 = u7.
La definición es implícita cuando un no sólo depende de n sino también de otros términos de lasucesión, que se tendrán que calcular antes.

Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.

Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.
6.2 Limite de una Sucesión
El límite de una sucesiónes uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una secuencia que converge hacia un punto llamado límite.
En forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o unespacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de...
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