Sucesiones

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SUCESIONES Y SERIES EN IR

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Series alternadas. ∞ 1 La serie es divergente. n=1 n ∞ (−1)n−1 . Esta serie es del tipo a1 −a2 +a3 − Consideremos n n=1 ∞ (−1)n−1 1 1 1 a4 + . . .. En efecto = 1 −+ − + ... n 2 3 4 n=1 Leibnitz demostr´ el siguiente teorema. o Teorema Si (an ) es decreciente y converge a cero, entonces converge y adem´s a 0 < (−1)n (S − sn ) < an+1 , an+1 es el error cometidoal aproximar S mediante sn y la diferencia (S − sn ) tiene el signo de an+1 , es decir del primer t´rmino omitido. e ∞ (−1)n−1 Ejemplo Sea . n n=1 1 ( n ) es decreciente y converge a cero. Enconsecuencia por el ∞ (−1)n−1 criterio de Leibnitz la serie converge. n n=1 (−1)k−1 1 . )(−1n ) < Adem´s 0 < (S − a n+1 k k=1 (−1)n log(n) . Usando L’Hopital se comprueba n n=1 log(x) log(n) = 0. En particularn−→∞ l´ ım = 0. que x−→∞ l´ ım x n Ejemplo Sea
∞ n ∞ n=1

(−1)n−1 an

para todo n ≥ 1.

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JONATHAN LINARES

log(x) tiene derivada negativa para todo Por otro lado h(x) = x x > a, dondea es la base del logaritmo. log(n) ) es decreciente y converge a cero. En En particular ( n consecuencia por el criterio de Leibnitz la serie alternada ∞ (−1)n log(n) converge. n n=1 Convergenciacondicional y absoluta. Teorema |an | converge ⇒ an converge.

El rec´ ıproco no es cierto. En efecto, la serie arm´nica alternada o converge, pero al agregar valor absoluto a cada sumando, la serieresultante es la serie arm´nica que es divergente. o Definici´n o an se llama absolutamente convergente si |an | an converge, pero |an | diverge, la serie es convergente. Si an se llama condicionalmenteconvergente. Ejemplo La serie te. (−1)n−1 es condicionalmente convergenn

an y bn son condicionalmente convergentes, entonces Si (αan + βbn ) es absolutamente convergente, para cualesquiera α, βreales. Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel. Criterio de Dirichlet. Si an tiene sumas parciales acotadas y (bn ) es decreciente y convergente a cero, entonces a n bn converge. Criterio de...
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