Suma de riermann

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Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de frespecto de la partición P se define así:

S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b]y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros dealtura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:
I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La sumasuperior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S(f,P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-IntegrablesSea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }
la integral inferior I*( f ) = sup {I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

f(x) dx

Hay quedestacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo,...
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