Suma infinita ib

Matemáticas IB
Suma Infinita

1) Considere la siguiente progresión de términos donde a=2, y x=1

tn= (xln a)n / n!

* -(n) es cualquier número de término de la sucesión.
* Por ejemplo, para el tercer término n=3, para el cuarto n=4.
* -El resultado de un logaritmo natural es el exponente que debe elevar a la base Euler (e=2,718282) para que de “a”, que en este caso sería2.
* Ej. Si a=2, entonces ln(2)= 0,693147 , cuando n=1 (porque no afecta elevar (ln a) a la 1, ni dividirlo por 1!)
* -x es el coeficiente que multiplica la función de ln (a)
* -n! Es cualquier número de término (1,2,3…) factorial. Es decir, el múltiplo de todos los n anteriores al n que se quiere obtener, ósea n(n-1)!, teniendo en cuenta que el primer término (n=0) tiene como n! Ó0! =1.
* Por ejemplo, si n=4, todos los n menores o igual a 4 son: 1,2,3,4, y 4! Es el múltiplo de todos ellos: 4!= (4x3x2x1).

*La sucesión a=2, x=1, indica que el valor de cada término viene dado reemplazar con el número del término deseado (n) a la expresión (ln 2)n/n!, ya que podemos ignorar a “x” porque es igual a 1.

a) Obtendremos los primeros 11 términos de la sucesión anterior(0≤ n ≥ 5)

Tn= (1x ln 2)n/n!

n=0
t0= (ln2)0/0! = 1
(Siempre el t0 =1 porque cualquier valor elevado a la cero es 1, y 0! Que es el denominador del cociente será igual a 1)

* n=1

* t1= (ln2)1/1! = (ln2)= 0,693147
* n=2
* t2= (ln2)2/2!= (0,693147)2/(2x1) = 0,4804528/2= 0,240227
* n=3
* t3= (ln2)3/3!= (0,693147)3/(3x2x1)= 0,333024/6= 0,055504
*n=4
* t4= (ln2)4/4!= (0,693147)4/(4x3x2x1)= 0,230835/24=0,009618

* n=5
* t5= (ln2)5/5!= (0,693147)5/(5x4x3x2x1)= 0,160003/120=0,001333

* n=6
* t6=(ln2)6/6!= (0,693147)6/(6x5x4x3x2x1)= 0,110905/720= 0,000154

* n=7
* t7= (ln2)7/7!= (0,693147)7/(7x6x5x4x3x2x1)== 0,076874/5040= 0,000015
* n=8
* t8= (ln2)8/8!= (0,693147)8/(8x7x6x5x4x3x2x1)=0,053285/40320= 0,000001
* n=9
* t9=(ln2)9/9!= (0,693147)9/(9x8x7x6x5x4x3x2x1)= 0,036934/362880=0,0000001
(con los seis puestos decimales utilizamos el valor de 0,000000)
* n=10
* t10= (ln2)10/10!= (0,693147)10/(10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)= 0,025601/3628800= 0,00000008 (al igual que para n=9, utilizamos el valor de 0,000000)

b) Obtenemos la suma progresiva de los términos (Sn)

Lasuma progresiva para cada tn es la suma hasta el término anterior más el tn deseado(Sn= S(n-1)+ tn).
Por ejemplo, para n=3, S3 = t0 + t1 + t2 + t3 , es decir= (S3-1)+ t3 = S2 + t3

Calculemos la Suma de los primeros 11 términos de la anterior sucesión (0≤ n ≥ 5)

* n=0
* S0= 1

* n=1
* S1= S0 + t1= 1+ 0,693147= 1,693147

* n=2
* S2= S1 + t2= 1,693147+0,240227= 1,933374
* n=3
* S3= S2 + t3= 1,933374 + 0,055504= 1,988878
* n=4
* S4= S3 + t4= 1,988878 + 0,009618= 1,998496
* n=5
* S5= S4 + t5= 1,998496 + 0,001333= 1,999829
* n=6
* S6= S5 + t6= 1,999829 + 0,000154= 1,999983
* n=7
* S7= S6 + t7= 1,999983 + 0,000015= 1,999998
* n=8
* S8= S7 + t8= 1,999998 + 0,000001 = 1,999999
* n=9* S9= S8 + t9= 1,999999 + 0,000000=1,999999
* n=10
* S10= S9 + t10= 1,999999 + 0,000000= 1,999999

c) Después de tener los valores de n y Sn tabularemos los resultados en una tabla de 3 columnas (n, tn y Sn), y elaboramos el gráfico en Microsoft Excel que muestre la relación entre Sn y n:

Tabla #1: Valores de los primeros diez términos de la progresión (tn), cuando a=2 y x=1, ysu suma progresiva (Sn)
Tn= (1ln2)n/n!
T10= (ln2)10/10!= 1,999999 (cercano a 2)
Asíntota horizontal= 2= a
Tn= (1ln2)n/n!
T10= (ln2)10/10!= 1,999999 (cercano a 2)
Asíntota horizontal= 2= a

n | tn | Sn |
0 | 1 | 1 |
1 | 0,693147 | 1,693147 |
2 | 0,240227 | 1,933374 |
3 | 0,055504 | 1,988878 |
4 | 0,009618 | 1,998496 |
5 | 0,001333 | 1,999829 |
6 | 0,000154 | 1,999983 |...