Suma superior e inferior

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ÍNDICE
OBJETIVO……………………………………………………………………2
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………2
* Área bajo la curva
* Sumas superior e inferior
DESARROLLO………………………………………………………………5
* Gráfica
* Suma superior
* Suma inferior
* Resultado: ÁREA
CONCLUSIÓN……………………………………………………………..11
ANEXOS……………………………………………………………………12
REFERENCIAS…………………………………………………………….13

OBJETIVO
Mediante larealización de este trabajo el estudiante logrará reafirmar los conocimientos vistos en clase, así como percatarse de la variación de datos en los dos métodos empleados (sumas superior e inferior) cuando n se sustituye por cierta cantidad, para una aproximación más exacta.
INTRODUCCIÓN
SUMAS SUPERIOR E INFERIOR

Supongamos el caso general que tienes en la gráfica de arriba. Una función f(x)continua y no negativa. Se te pide que calcules el área entre las rectas x=a y x=b y la gráfica de f(x).En primer lugar definimos el ancho de cada intervalo (que además va a ser la base de cada uno de los rectángulos).A este ancho lo denominamos ∆x=(b-a)/n siendo n el número de rectángulos que utilicemos para aproximar el área bajo la curva.Los puntos terminales de la derecha de cada intervalo vendrádefinido por a +∆x i Los puntos terminales de la izquierda de cada intervalo vendrá definido por a +∆x (i-1)para i=1,2,3,...,nLo que no sabemos es si el valor de la función será mayor en el punto terminal derecho del i-ésimo intervalo o en el punto terminal izquierdo de este i-ésimo intervalo (puesto que depende de si la función es creciente o decreciente en ese i-ésimo intervalo). Pero al ser lafunción continua, el Teorema de los valores extremos asegura que existe un máximo y un mínimo de f(x) en cada subintervalo. Llamemos f(mi) al valor mínimo de f(x) en el subintervalo i-ésimoLlamemos f(Mi) al valor máximo de f(x) en el subintervalo i-ésimoAhora podemos definir un rectángulo inscrito dentro de la i-ésima región. Su base será a + ∆x y su altura será f(mi)Además podemos definir unrectángulo circunscrito que se extiende fuera de la i-ésima región. Su base será a + ∆x y su altura será f(Mi)Siempre se cumplirá que: área del rectángulo circunscrito >= área rectángulo inscritoo bien: que el resultado de la suma superior>=suma inferiorLa suma de las áreas de los rectángulos inscritos se denomina suma inferior y su valor en notación sigma es:La suma de las áreas de los rectánguloscircunscritos se denomina Suma superior y su valor en notación sigma es: |
|

DESARROLLO
APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO UNA CURVA
Tenemos que nuestra ecuación es: x3-6x2+8x+4
Esta función se encuentra limitada en la parte inferior por el eje X y su acotación derecha e izquierda son:
x=a y x=b , esto es, x=0 y x=5

Graficamos:
Valores X | Valores Y |
0 | 4 |
1 | 7 |2 | 4 |
3 | 1 |
4 | 4 |
5 | 19 |

Empezamos por subdividir el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de longitud ∆x= (b-a)/n.
Esto es: ∆x= (5-0)/n = 5/n
* Ahora podemos calcular la suma superior denotada por: S(n) =5nf(a+i∆x)
= 5ni=1nf(0+i5n)
Esto lo podemos ver como 5in
Y lo sustituimos en nuestra ecuación original: x3-6x2+8x+4
Esto es:limn→∞5ni=0n5in3-65in2+85in+4
Desarrollamos los exponentes:
limn→∞5ni=0n125i3n3-150i2n2+40in+4
Sustituimos las “i” con respecto a las fórmulas establecidas
limn→∞5n125n3n2(n+1)24-150n2n(n+1)(2n+1)6+40nn(n+1)2+4n
Desarrollamos
limn→∞5n125nn2+2n+14-150n2n2+3n+16+40nn2+n2+4n
limn→∞5n125n2+250n+1254n-300n2-150n-1506n+40n2+40n2n+4n
Factorizamos y eliminamos
limn→∞5n125n2+250n+1254n-6(50n2-75n-25)6n+2n(20n+20)2n+4nlimn→∞5n125n2+250n+1254n-50n2-75n-25n+20n+20+4n
Ahora desarrollamos las operaciones buscando el mínimo común múltiplo: 4n
limn→∞5n125n2+250n+125-200n2-300n-100+80n2+80n+16n24n
limn→∞5n21n2+30n+254n
Desarrollamos la multiplicación
Nos queda
limn→∞105n2+150n+1254n2
Resolvemos el límite cuando n tiende a infinito
Por tener literales con exponentes diferentes, se eliminan
limn→∞105n24n2...
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