Superficies cuádricas

MA1003 C´lculo III
a

1.
1.1.

1

SUPERFICIES EN R3

Superficies en R3
Superficies cuadr´ticas
a

En general, una superficie cuadr´tica es aquella representaci´n en el espacio de una ecuaci´n del tipo Ax2 +
a
o
o
By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J , en donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J representan constantes
reales. En el presente curso se trabajar´ unicamente conecuaciones de la forma
a´
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0.

Algunos ejemplos de superficies cuadr´ticas son los siguientes:
a
x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Dicha superficie interseca a los ejes coordenados en los puntos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). Si en la
Elipsoide: La forma can´nica de la ecuaci´n de un elipsoide centrado en el origen es
o
o

ecuaci´n sesustituye z = 0, obtenemos la intersecci´n (traza) de dicha superficie con el plano XY , la
o
o
x2
y2
cual es la elipse 2 + 2 = 1 en dicho plano; lo mismo sucede al cambiar x = 0 y y = 0. La gr´fica de
a
a
b
dicha ecuaci´n tiene la siguiente forma:
o

Figura 1: Elipsoide con ecuaci´n
o

x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c

x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 1 (dos coeficientes positivos y
2
a
b
c
x2y2
uno negativo). Si se sustituye z = 0 se tiene la ecuaci´n 2 + 2 = 1, es decir, la intersecci´n con el plano
o
o
a
b
z2
x2
XY es una elipse (y con cualquier plano horizontal z = k ). Si se hace y = 0, se obtiene 2 − 2 = 1, la
a
c
cual es la ecuaci´n de una hip´rbola, al igual que si se sustituye x = 0, por lo que la intersecci´n con los
o
e
o
Hiperboloide de una hoja: La ecuaci´ntiene la forma
o

planos Y Z y XZ son hip´rbolas (y con cualquier plano vertical x = k ´ y = k ). N´tese adem´s, que en
e
o
o
a
este caso, la superficie no interseca al eje Z , e interseca a los otros ejes en los puntos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0).
La gr´fica tiene entonces la siguiente forma:
a
Prof. Dar´ Mena Arias
ıo

I-2011

1

MA1003 C´lculo III
a

1

Figura 2: Hiperboloidede una hoja con ecuaci´n
o

SUPERFICIES EN R3

x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 1.
2
a
b
c

x2
y2
z2
− 2 − 2 = 1 (dos coeficientes negativos
c2
a
b
y uno positivo). Interseca al eje Z en (0, 0, ±c) y no interseca a los otros ejes. No interseca al plano
k2
x2
y2
XY , pero n´tese que si k > c, la intersecci´n con el plano z = k es la curva 2 − 2 − 2 = 1, es
o
o
c
a
b
x2
y2
k2decir, 2 + 2 = 2 − 1, la cual es una elipse. Las intersecciones con los otros planos corresponden a
a
b
c
hip´rbolas (y en general con cualquier plano vertical).
e

Hiperboloide de dos hojas: La ecuaci´n es del tipo
o

Figura 3: Hiperboloide de dos hojas con ecuaci´n
o

z2
x2
y2
− 2 − 2 = 1.
2
c
a
b

x2
y2
z
+ 2 = . Interseca a los ejes coordenados en el
2
a
b
c
origen.La intersecci´n con el plano XY es un punto, pero la intersecci´n con cualquier plano horizontal
o
o

Paraboloide el´
ıptico: La ecuaci´n tiene la forma
o

z = k , tal que kc > 0 es una elipse. Las intersecciones con los planos Y Z y XZ son par´bolas (y en
a
general con cualquier plano vertical). Tiene forma de un “taz´n” tal que si c > 0 el paraboloide se “abre”
o
hacia arriba, y si c< 0 se “abre” hacia abajo.

Prof. Dar´ Mena Arias
ıo

I-2011

2

MA1003 C´lculo III
a

1

Figura 4: Paraboloide el´
ıptico con ecuaci´n
o

SUPERFICIES EN R3

x2
y2
z
+ 2 = , c > 0.
2
a
b
c

y2
x2
z
− 2 = . Tiene forma de silla de montar. La
b2
a
c
traza sobre el plano XY es una hip´rbola (y con cualquier plano horizontal), mientras que la intersecci´n
e
oParaboloide hiperb´lico: La ecuaci´n es del tipo
o
o

con los otros dos planos son par´bolas (y con cualquier plano vertical), que difieren en concavidad. Para
a
una mejor idea v´ase la figura.
e

Figura 5: Paraboloide hiperb´lico con ecuaci´n
o
o

y2
x2
z
− 2 = , c > 0.
b2
a
c

x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 0. Las intersecciones con planos horizontales
a2
b
c
z = k , k = 0 son...