Superficies cuádricas
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Publicado: 26 de septiembre de 2010
Superficies Cuádricas
Solo recordamos que una parábola es y = ax2 o x = ay2 y que la parábola está a lo largo del eje correspondiente a la variable que no está al cuadrado. Una elipse, x2/a2 + y2/b2=1. La cual es un círculo alongado. Se extiende en la dirección “x” de –a hasta a y en la dirección “y” de –b a b. La hipérbola x2/a2 - y2/b2=1 o y2/a2 - x2/b2=1. La hipérbola nunca cruza el ejecorrespondiente a la variable que tiene el signo negativo.
Una supericie cuadrada es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables. Las superficies cuádricas son de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 donde A,…,J son constantes. Las superfices cuádricas pueden clasificarse en cinco categorías: elipsoides, conos, paraboloides, hiperboloides ycilindros cuadricos. Las superficies cuádricas son el equivalente en 3D de secciones cónicas en el plano.
Es imposible mostrar todas las superficies cuádricas, ya que su variedad es extensa. Sin embargo, podemos revisar unas ecuaciones representativas que marcan un estándar, y que se consideran las más comunes superficies cuádricas.
Elipsoide
La ecuación general del elipsoide es
[pic]
Aquíse muestra una gráfica de un elipsoide típico:
[pic]
Si a=b=c, entonces lo que se tiene es una esfera. Debemos de tomar en cuenta que esta ecuación corresponde a un elipsoide centrado en el origen. Es claro que los elipsoides no tienen porque estar centrados en el origen, solo se hace para facilitar su presentación. Susintersecciones son (+/-a,0,0), 0, (+/-b,0), (0,0, (+/-c).
Cono Elíptico
La ecuación general del cono es
[pic]
Aquí se muestra una gráfica de un cono típico:
[pic]
En este caso este cono abrirá a lo largo del eje “z”. Para obtener un cono que abra a lo largo de los otros ejes necesitamos hacer una ligera modificación en laecuación. En el caso de la variable que permanece sola en un lado del signo igual será la que determine el eje a lo largo del cual el cono abrirá. El eje del cono será el que corresponde a la variable del lado derecho. La intersección de un plano perpendicular a su eje es una elipse. La intersección con un plano paralelo serán hipérbolas, si el plano no contiene al origen, o un par de líneas si elplano contiene al origen. La superficie del cono tiene la propiedad de que si P es cualquier punto en el cono, el segmento OP está totalmente en el cono.
Por ejemplo, un cono que abre a lo largo del eje de las “x” tendrá la siguiente ecuación:
[pic]
Cilindro
La ecuación general del cilindro es
[pic]
En este caso, este es un cilindro en el que cada una de sus secciones es unaelipse. Si a=b, sus secciones son un círculos, y su ecuación es [pic]
Hay cilíndrico elíptico x2/a2 + y2/b2=1. El eje será el de la variable faltante. La intersección con el plano formado por las variables que contiene serán elipses. El cilíndrico hiperbólico x2/a2 - y2/b2=1. El eje será el de la variable faltante. La intersección con el plano formado por las variables que contiene serán hipérbolas.Un cilindro parabólico y =ax2, parece que estar envuelto alrededor del eje de la variable faltante. La intersección con los planos de las variables que aparecen en la ecuación son parábolas.
Aquí está la gráfica de un cilindro con sus secciones formadas por elipses.
[pic]
El cilindro estará centrado en el eje que corresponde a lavariable que no aparece en la ecuación. En dos dimensiones lo que tenemos es un círculo, en tres dimensiones lo que tenemos es un cilindro.
Hiperboloide de una hoja.
La ecuación del hiperboloide de una hoja es
[pic]
Su gráfica es
[pic]
La variable con el signo negativo es la que dará el eje a lo largo del cual la gráfica está centrada....
Solo recordamos que una parábola es y = ax2 o x = ay2 y que la parábola está a lo largo del eje correspondiente a la variable que no está al cuadrado. Una elipse, x2/a2 + y2/b2=1. La cual es un círculo alongado. Se extiende en la dirección “x” de –a hasta a y en la dirección “y” de –b a b. La hipérbola x2/a2 - y2/b2=1 o y2/a2 - x2/b2=1. La hipérbola nunca cruza el ejecorrespondiente a la variable que tiene el signo negativo.
Una supericie cuadrada es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables. Las superficies cuádricas son de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 donde A,…,J son constantes. Las superfices cuádricas pueden clasificarse en cinco categorías: elipsoides, conos, paraboloides, hiperboloides ycilindros cuadricos. Las superficies cuádricas son el equivalente en 3D de secciones cónicas en el plano.
Es imposible mostrar todas las superficies cuádricas, ya que su variedad es extensa. Sin embargo, podemos revisar unas ecuaciones representativas que marcan un estándar, y que se consideran las más comunes superficies cuádricas.
Elipsoide
La ecuación general del elipsoide es
[pic]
Aquíse muestra una gráfica de un elipsoide típico:
[pic]
Si a=b=c, entonces lo que se tiene es una esfera. Debemos de tomar en cuenta que esta ecuación corresponde a un elipsoide centrado en el origen. Es claro que los elipsoides no tienen porque estar centrados en el origen, solo se hace para facilitar su presentación. Susintersecciones son (+/-a,0,0), 0, (+/-b,0), (0,0, (+/-c).
Cono Elíptico
La ecuación general del cono es
[pic]
Aquí se muestra una gráfica de un cono típico:
[pic]
En este caso este cono abrirá a lo largo del eje “z”. Para obtener un cono que abra a lo largo de los otros ejes necesitamos hacer una ligera modificación en laecuación. En el caso de la variable que permanece sola en un lado del signo igual será la que determine el eje a lo largo del cual el cono abrirá. El eje del cono será el que corresponde a la variable del lado derecho. La intersección de un plano perpendicular a su eje es una elipse. La intersección con un plano paralelo serán hipérbolas, si el plano no contiene al origen, o un par de líneas si elplano contiene al origen. La superficie del cono tiene la propiedad de que si P es cualquier punto en el cono, el segmento OP está totalmente en el cono.
Por ejemplo, un cono que abre a lo largo del eje de las “x” tendrá la siguiente ecuación:
[pic]
Cilindro
La ecuación general del cilindro es
[pic]
En este caso, este es un cilindro en el que cada una de sus secciones es unaelipse. Si a=b, sus secciones son un círculos, y su ecuación es [pic]
Hay cilíndrico elíptico x2/a2 + y2/b2=1. El eje será el de la variable faltante. La intersección con el plano formado por las variables que contiene serán elipses. El cilíndrico hiperbólico x2/a2 - y2/b2=1. El eje será el de la variable faltante. La intersección con el plano formado por las variables que contiene serán hipérbolas.Un cilindro parabólico y =ax2, parece que estar envuelto alrededor del eje de la variable faltante. La intersección con los planos de las variables que aparecen en la ecuación son parábolas.
Aquí está la gráfica de un cilindro con sus secciones formadas por elipses.
[pic]
El cilindro estará centrado en el eje que corresponde a lavariable que no aparece en la ecuación. En dos dimensiones lo que tenemos es un círculo, en tres dimensiones lo que tenemos es un cilindro.
Hiperboloide de una hoja.
La ecuación del hiperboloide de una hoja es
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Su gráfica es
[pic]
La variable con el signo negativo es la que dará el eje a lo largo del cual la gráfica está centrada....
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