Superficies

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SUPERFICIES

De una manera mas general, veremos que, si existe una representación analítica de una figura geométrica considerada por nosotros como una superficie, tal representación consistirá en una única ecuación rectangular de la forma: F(x,y,z) = 0. Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente, por medio de la formula de la distancia entre dos puntos que la superficie esférica deradio r y con centro en el origen se representa analíticamente, por la ecuación:

x2+ y2+ z2 =r2

De acuerdo con lo anterior, vamos a establecer la siguiente:

Definición . Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:

Fx, y, z=0

Discusión de la ecuación de una superficie.
En laconstrucción de curvas planas, es particularmente ventajoso discutir la ecuación de una curva antes de trazar su grafica correspondiente. Análogamente, es ventajoso discutir la ecuación de una superficie antes de construirla.

Limitaremos nuestra discusión a los cinco pasos siguientes:

1. Intercepciones con los ejes coordenados.

2. Trazas sobre los planos coordenados.

3. Simetría conrespecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

5. Extensión de la superficie.

Los tres siguientes teoremas constituyen un resumen de estos resultados
.
TEOREMA1. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de una de las variables, la superficie es simétrica con respecto a1plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente.

TEOREMA2. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al que coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no se cambia, y recíprocamente.
TEOREMA3. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando sustres variables cambian de signo, la superficie es simétrica con respecto al origen, y recíprocamente. Supongamos que la ecuación de una superficie es:

Fx, y, z=0……………… (1)

Se puede obtener una buena idea de la forma de esta superficie estudiando la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando lasuperficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados. Por ejemplo, los planos paralelos al plano XY pertenecen a la familia cuya ecuación es z = k, en donde k es una constante arbitraria o parámetro. Entonces, de la ecuación (1), tenemos que:

Fx, y, z=0, z = k……………….. (2)

Son las ecuaciones de la curvade intersección del plano con la superficie, correspondiendo a cada valor asignado a k una curva determinada. Y como la curva (2) está en el plano z = k, puede determinarse su naturaleza por los métodos de la Geometría analítica plana.
El concepto de la extensión de una superficie es análogo al de la extensión de una curva plana.
Si se da la ecuación de una superficie en la forma (1),se puede ver de despejar una de las variables en función de las otras dos.
Si, por ejemplo, despejamos z en función de x y y podemos escribir la ecuación en la forma:

z = f (x, y)………………………… (3)

Una ecuación en la forma explícita (3) nos permite obtener los intervalos de variación de los valores reales que las variables pueden tomar. Estainformación es útil para determinar la localización general de la superficie en el espacio coordenado; también indica si la superficie es cerrada o indefinida en extensión.

Construcción de una superficie. En este artículo vamos a ilustrar la discusión de la ecuación de una superficie y la construcción de la misma mediante varios ejemplos.

Discutir la superficie cuya ecuación es:...
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