superficies

Marco teórico

La grafica de una función de tres variables por lo general (x,y,z) representa una superficie en el espacio de 3. Una función  de tres variables asocia cada terna ordenada (x,y,z) mediante esta relación .

La grafica de la ecuación (x,y,z)=0, es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación, y esta representación grafica de la funciónmencionada anteriormente, recibe el nombre de superficie en 3.

Los ejemplos mas simples de superficies en el espacio de 3 son los planos con ecuación lineal Ax+By+Cz+D=0.

Para graficar una superficie en el espacio tridimensional, es útil examinar sus intersecciones con varios planos, como por ejemplo con el plano xy, yz, xz, o también otros planos no tan comunes como estos tres.
La traza de lasuperficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre si pero no sontangentes.
Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a estos.

Existen distintos tipos de superficies en el espacio, dentro de las cuales se encuentran:

- Superficies Implícitas. F(x,y,z)=0
Cuádricas
Superficies equipotenciales.
- Superficies Explicitas. z=f(x,y);
-Superficies Paramétricas. (x,y,z)=f (u,v)
Las Explicitas se tratan como paramétricas.
Bezier, BSplines, NURBS.

En este trabajo analizaremos solo superficies cuádricas y superficies paramétricas dentro del espacio 3 y veremos las respectivas graficas de las funciones mas usadas.









Cuádricas

Las superficies cuádricas se tratan de primitivas matemáticas que responden a laecuación:

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, toros, hiperboloides, etc.

Esta ecuación de la representación de superficies cuádricas esta referida a ejes que no son de simetría (ejes arbitrarios), donde al menos uno de los seis primeros coeficientes es no nulo. Esta ecuación puede reducirse a una en la cual nofiguren los productos entre las variables. Mediante una rotación adecuada de coordenadas, pueden eliminarse luego los términos que contienen las primeras potencias de las nuevas variables mediante una translación. Se llegara entonces a las ecuación mas simple para dicha cuádrica; esta ecuación es la ecuación canónica de la cuádrica.

Ax2+By2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0

Las superficies cuádricas sepueden clasificar en cuádricas no degeneradas que son cinco: tres de ellas poseen centro de simetría (elipsoide, hiperboloide de una hoja y de dos hojas) y las dos restantes no poseen centro de simetría (paraboloide elíptico e hiperbólico o silla de montar). Las cuádricas degeneradas son conos, planos dobles y cilindros.

Cualquier superficie ubicada arbitrariamente respecto de los ejes x,y,z; esposible centrarla en el origen (si tiene centro) respecto a un nuevo sistema de ejes coordenados x’,y’,z’ mediante adecuadas translaciones y rotaciones del sistema x,y,z.

Dada la ecuación general de las cuádricas:

a11x2+a22y2+a33z2+a12xy+a13xz+a23yz+a14x+a24y+a34z+a44=0

y a partir de los coeficientes aij, definimos una serie de parámetros que los llamaremos invariantes, ya que los mismosno se modifican con las operaciones roto – translatorias que llevan x,y,z a x’,y’,z’ estas invariantes son:


S= a11+a22+a33 T= a11a22+a11a33+a22a33+a122+a132+a232





Siendo E = menor principal 0, de mayor rango.

Los números , , S, T y E, calculables a partir de los aij = aji permiten junto con el rango de la matriz 4x4, reconocer cual es la cuádrica que...