Superficies

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TEMA 6
SUPERFICIES

OBJETIVO El alumno identificará superficies cuádricas a partir de su ecuación cartesiana; y obtendrá la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de superficies. CONTENIDO

6.1 Clasificación de superficies. Superficies cuádricas. Definición de superficies cilíndricas, cónicas, regladas y de revolución .

6.2 Ecuación vectorial yecuaciones paramétricas de una superficie cuádrica. 6.3 Obtención de la ecuación cartesiana por el método de las generatrices. 6.4 Ecuación cartesiana de una superficie a partir de una de sus ecuaciones vectoriales. 6.5 Determinación de las características de una superficie cuádrica (identificación) a partir de su ecuación cartesiana.

SUPERFICIES
DEFINICIÓN: Se llama superficie al lugar geométrico detodos los puntos que tienen representación gráfica en el espacio de tres dimensiones y cuya relación matemática representativa cuenta con una sola ecuación del tipo: F(x, y, z) = 0

Es conveniente hacer notar que no todas las ecuaciones de este tipo representan una superfi-cie, por ejemplo:

a) b) c)

x² + y² + 4z² = 0 (que representa un punto) 2x² + 3y² + 6z² = -8 (no representa nada) x²+ 4y² + 5z² = 25 (representa un elipsoide)

Por otra parte, también es necesario aclarar que en la parte correspondiente a la geometría analítica de dos dimensiones se representaba una curva con una sola ecuación, pero ello se debía a que se estaba trabajando siempre en el plano «XY», cuya ecuación es z = 0. Entonces, cualquier curva, en ese caso, tenía la ecuación con la que se trabajaba y laanteriormente citada. Esto además quiere decir que una curva en el espacio tridimensional requiere para su representación de dos ecuaciones cartesianas, lo que significa, en realidad, que una curva puede obtenerse como la intersección de dos superficies.

CLASIFICACIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE DE SUPERFICIES
a) SUPERFICIES ALABEADAS: son aquellas que no están contenidas en un plano. b) SUPERFICIESCUÁDRICAS O CUADRÁTICAS: Son las que tienen su representación analítica del tipo:
Ax² + Bxy + Cy² + Dxz + Ez² + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Que a su vez se subclasifican en: esferas, elipsoides, hiperboloides de uno y dos mantos, paraboloides circulares o de revolución, paraboloides elípticos, paraboloides hiperbólicos y degeneraciones de los anteriores. c) SUPERFICIES CILÍNDRICAS: Sonaquellas que se forman con el movimiento de una recta que se conserva siempre paralela al vector dado y que se apoya en una curva fija.

d) SUPERFICIES CÓNICAS: Es aquella que se genera con el movimiento de una recta que pasa siempre por un punto fijo llamado vértice y que se apoya en una curva fija.
e) SUPERFICIES REGLADAS: Se generan por medio de dos rectas.

f) SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN: Segeneran con el giro de una curva plana llamada meridiana, alrededor de un eje contenido en el mismo plano.

ECUACIÓN DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos de espacio que equidistan de un punto fijo. La distancia constante se llama radio y el punto fijo centro. De esta definición obtenemos el siguiente teorema:

TEOREMA:

Laecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto (h, k, l) y cuyo radio es la constante r es:
( x- h)² + (y - k)² + (z - 1)² = r² … (1) COROLARIO:

La superficie esférica cuyo centro es el origen y cuyo radio es la constante dada r tiene por ecuación:

x² + y² + z² = r²

La ecuación (1) del teorema anterior se conoce como forma ordinaria de las ecuaciones de la esfera. Si se desarrollaesta ecuación y ordenamos los términos, obtenemos una ecuación de la forma: x² + y² + z² + Gx + Hy + Iz + K = 0 … (2) Dicha ecuación se llama forma general de la ecuación de la esfera. Contiene cuatro constantes arbitrarias independientes; por lo tanto, una

superficie esférica queda perfectamente determinada por cuatro condiciones independientes. Así por ejemplo, cuatro puntos no coplanares...
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