Superficies

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Matemáticas II
SUPERFICIES EN EL ESPACIO
1. Expresiones de una superficie en coordenadas cartesianas y ejemplos: Una superficie S en el espacio es la imagen de una aplicación continua r : D ⊂ R 2 →R 3 , es decir, es el conjunto de puntos S = {( x, y, z ) ∈ R 3 : ( x, y, z ) = r (u, v ) = ( x (u , v ), y (u , v), z (u , v)) con (u , v) ∈ D} . Así, una superficie puede expresarse mediante:

x = x (u , v )  Ø Ecuaciones paramétricas de S:  y = y (u , v ) , (u, v ) ∈ D  z = z ( u, v) 
Los parámetros u, v reciben el nombre de coordenadas curvilíneas de la superficie. Ø Ecuaciónexplícita de S es aquella en que los parámetros son dos de las variables, luego una ecuación explícita es z = f ( x, y) ó y = f ( x, z ) ó x = f ( y , z ) Ø Ecuación implícita de S es aquella que nos da unarelación entre las variables x, y, z de la forma F ( x, y, z ) = 0 . Ejemplos: 1) El plano coordenado xy de R3 es imagen de la aplicación r : R 2 → R 3 , r ( u, v) = (u, v,0) . Las ecuacionesparamétricas son x = u , y = v, z = 0 ; con u , v ∈ R y la ecuación implícita es z = 0. 2) La esfera unidad de R3 es imagen de al aplicación

 π π 2 3 r :  − ,  × [0,2p ] ⊂ R → R , r (u , v ) = (cos u cosv, cos u sen v, sen u ) 2 2 
Unas ecuaciones paramétricas de la esfera son

x = cos u cos v, y = cos u sen v , z = sen u ; con −
y la ecuación implícita es x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

π π ≤ u ≤ ,0 ≤ v ≤ 2π 2 2

2. Más ejemplos de superficies 2.1. Cuádricas

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2.2. Superficies de revolución Una superficie de revolución S es una superficie que se obtiene haciendo girar una curva Γ en torno a unarecta E que llamaremos eje de la superficie. Por ejemplo un cilindro es la superficie de revolución que se obtiene girando una recta alrededor de otra. En lo que sigue supondremos que la curva Γ no...
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