Supuestos Para Diseño De Experimentos De Un Factor

Tema 1. Modelo de dise˜o de experimentos n (un factor)

Estad´ ıstica (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Ba´ ıllo

Tema 1: Dise˜o de experimentos (un factor) n

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Introducci´n o
El objetivo del An´lisis de la Varianza es estudiar si existe relaci´n a o entre el valor medio de una variable respuesta o caracter´ ıstica (por ej. el nivel de contaminaci´n) y una variable cualitativa,atributo o o factor (por ej. la localizaci´n del lugar de medida). o Ejemplo 1.1: Se mide la contaminaci´n de un r´ analizando la o ıo cantidad de ox´ ıgeno que contiene en disoluci´n el agua. Se toman o muestras en cuatro lugares diferentes del r´ (a 10, 25, 50 y 100 ıo km. del nacimiento), obteni´ndose: e A 100 A 50 A 25 A 10 km. km. km. km. 4,8 6 5,9 6,3 5,2 6,2 6,1 6,6 5 6,1 6,3 6,4 4,7 5,8 6,16,4 5,1 6 6,5

Queremos averiguar si existen diferencias significativas en el nivel medio de contaminaci´n a distintas alturas del cauce. o
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Tenemos una muestra de n = 19 elementos que se diferencian en un factor. En cada elemento de la muestra observamos una caracter´ ıstica continua (Y), que var´ aleatoriamente de un ıa elemento a otro. Otros posibles ejemplos:
• ¿Existe diferencia entre el salario medio mensual entre hombre

y mujer?
• ¿Existen diferencias entre las calificaciones medias de

estudiantes de la misma asignatura, pero de distintos grupos?
• Diferencias entre el consumo medio de carburante en coches

de la misma categor´ pero distintas marcas. ıa Paradeterminar si hay diferencias significativas entre las respuestas medias a distintos niveles del factor, el An´lisis de la Varianza a descompone la variabilidad de un experimento en componentes independientes que se asignan a causas distintas.
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El modelo
En el Ejemplo 1.1 el factor toma I =valores (los niveles, grupos o tratamientos del factor). Se mide la cantidad de ox´ ıgeno en disoluci´n n1 = veces a 100 km. del nacimiento del r´ n2 = o ıo, veces a 50 km., n3 = veces a 25 km. y n4 = veces a 10 km. ni = no de observaciones de la respuesta para el nivel i del factor Si n1 = n2 = . . . = nI se dice que el dise˜o es equilibrado. n
I

n=
i=1

ni = no total de observaciones de Yyij = j-´simo valor observado de la respuesta en el nivel i, e i = 1, . . . , I , j = 1, . . . , ni Ejemplo 1.1 (cont.):

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Ejemplo 1.1 (cont.):
6.5 6

y
5.5 5 4.5

1

2 i

3

4

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Suponemos que, en el nivel i del factor, la respuesta Y oscila aleatoriamente en torno a un nivel desconocido µi , la media de la poblaci´n i-´sima: E (Yij ) = µi . Cada observaci´n yij resulta de o e o una perturbaci´n aleatoria uij en torno al valor medio µi . o El modelo de Analisis de la Varianza (ANOVA) unifactorial es el modelo lineal Yij = µi + Uij , para j =1, . . . , ni , i = 1, . . . , I ,

con las siguientes hip´tesis b´sicas del modelo: o a a) E (Uij ) = 0 para todo i, j (linealidad) b) Var(Uij ) = σ 2 para todo i, j (homocedasticidad) c) E (Uij Ukl ) = 0 para todo i = k, j = l (independencia) d) Uij ∼ Normal para todo i, j (normalidad) A las Uij tambi´n se las llama error experimental. e
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Las anteriores hip´tesis equivalen a o a) E (Yij ) = µi para todo i, j b) Var(Yij ) = σ 2 para todo i, j c) E (Yij Ykl ) = 0 para todo i = k, j = l d) Yij ∼ Normal para todo i, j Seg´n el modelo las ni observaciones yi1 , yi2 , . . . , yini de la u poblaci´n i son una muestra aleatoria de una N(µi , σ 2 ). o Si estas hip´tesis no se cumplen...