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TRABAJO: PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TEOREMA DE BAYES


MATERIA: MATEMATICAS PARA LA TOMA DE DESICIONES



4TO SEMESTRE



TICS


ALUMNO: VILLARREAL NAVA JORGE



PROFESORA: ODETTE A. PLIEGO MARTINEZ







PROBABILIDAD CONDICIONAL

INTRODUCCION

Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de queocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».



Esta definición esconsistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.

Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.

EJEMPLO 1:

Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?
Segúnlas leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}
el suceso A= {hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad
p(A) = 1/4 = 0,25
La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hayde que tenga la enfermedad?
Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY}
la probabilidad pedida es p (A|B) y aplicando la definición anterior
p (B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5
Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p (A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestralp (A|B) = 1/2 = 0,5

EJEMPLO 2:

Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
Obsérvese que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidadescondicionadas.
La fórmula anterior se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A)
llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos
p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2)
En general p(A1 Ç A2 Ç A3 ...) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) ...
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil paraaquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.


TEOREMA DE BAYES

INTRODUCCION

El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución deprobabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Teorema de Bayes
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, osea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
 
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:
 

 
Aplicando en el numerador la Regla de...