Tabajo de aplicacion del algebra lineal en la ingenieria!

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLAN

INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA









“Aplicación de algebra lineal en la vida profesional”

















Alumno: Sánchez Cortes

Joaquín Uriel

2012-1

Prof.: M. Carlos Oropeza Legorreta





6 DICIEMBRE DE 2011

Introducción:

La mayoría de los textos dealgebra lineal con los que contamos cuentan con problemas un tanto superficiales, es decir, se alejan de la realidad. Ejemplos que tal vez nunca nos lleguemos a enfrentar en nuestra vida profesional. Los ejemplos de los textos hacen que el alumno se deje de interesar en esta materia, ya que pueden llegar a pensar que nunca la van a aplicar.

Este trabajo tiene como objetivo que nosotros comoalumnos nos despierte el interés del estudio de esta materia, así mismo irse enfocando en materias mas especificas de la ingeniería, tomando como ejemplo “Análisis de estructuras” de nuestros compañeros de Ingeniería Civil, donde se encuentran con un uso abundante de matrices y sistemas de ecuaciones.

En el siguiente ejemplo abordamos un problema de aplicación de sistema de ecuaciones ymatrices.

































Un sistema estructural compuesto por 4 barras coplanares que cuelgan de un techo horizontal unidas a este mediante articulaciones, además, se encuentra unidas entre sí mediante otra articulación.















1.- Encuentr las fuerzas axiales en las 4 barras, cuando se somete al sistema estructural a dor cargas.Solucion:

Una carga horizontal P1 y otra vertical P2, ambas aplicadas en la union comun de las barras. Aplicando las condiciones de equilibrio de la union comun se llega a A{N} ={P}, donde A es una matriz de 2x4 con los cosenos direcotres de las barras, {N} una matriz columna 4×1 con fuerzas axiales de las barras y {P} el vector columna de 2x1 de las cargas aplicadas. La relacion decompartibilidad geometrica conducen a: At {δ}={∆}, donde At es la transpuesta de A, {∆} matriz columna de las deformaciones en las barras y {δ} el vector columna de las componentes rectangulares del desplazamiento de la union comun. Las componentes entre fuerzas axiales y deformaciones de las barras (LEY DE HOOKE) nos conduce a {N}=[k]{∆} donde [k] es una matriz diagonal de 4x4 con kii=ki laconstante elastica de la barra i. Combinado adecuadamente estras tres ecuaciones obtenemos la matriz {N}.

Las fuerzas internas N1,..,N4 de las barras pueden expresarse en funcion de las cargas P1 y P2 mediante el equilibrio del punto 0.















En esta figura se muestran las fuerzas que actuan sobre este punto, los signos negativos se deben a que as fuerzas en las barras lascuales estamos suponiendo positivas a la compresion, en el nudo aparecen de sentidos opuestos debido a la tercera ley de Newton. Utilizando las condiciones de equilibrio:

([pic])[pic] + ([pic])[pic] + ([pic])[pic] + ([pic])[pic]+ P1= 0 ………………………………………………(1)

([pic])[pic]+ ([pic])[pic] + ([pic])[pic] + ([pic])[pic]+ P2= 0

Ó En forma matricial:

[pic] [pic] = [pic]

Donde cos αi, cos βison los consenos directores del segmento dirigido que uno 0 con el otro extremo de la barra i(i=1,……..,4), lo que hace que las fuerzas de compresión sean positivas y las de tensión negativas. Se puede obsercar que el sistema de ecuaciones dado por 1 es compartible e indeterminado. Para poder convertir el sistema de ecuaciones en compartible determinado obtendremos ecuaciones a partir deanálisis de la deformación del sistema estructural, definiendo las matrices A, [pic] y [pic] como:

A = ([pic] [pic] y [pic]= [pic]

La ecuación anterior se puede escribir como: A { N } = {P} (3)











En la figura anterior se ha representado la deformación ∆3 de la barra 3 (0´ es la posición final del punto 0). Supongamos que la barra 3 se alargo de manera en que su...