Tabla de integrales inmediatas

1 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1

Repaso de integraci´n
o
1.

Tabla de integrales inmediatas

xn dx =

xn+1
+ C, si n = −1
n+1

f (x)n · f (x) dx =

f (x)n+1
+ C, si n = −1
n+1

1
dx = ln |x| + C
x

1
· f (x) dx = ln |f (x)| + C
f (x)

ex dx = ex + C

ef (x) · f (x) dx = ef (x) + C

ax dx =

ax
+C
ln a

af (x) · f (x) dx =

af (x)
+C
ln a

sen x dx= − cos x + C

sen (f (x)) · f (x) dx = − cos (f (x)) + C

cos x dx = sen x + C

cos (f (x)) · f (x) dx = sen (f (x)) + C

tan x dx = − ln | cos x| + C

tan (f (x)) · f (x) dx = − ln | cos (f (x)) | + C

ctan x dx = ln | sen x| + C

ctan (f (x)) · f (x) dx = ln | sen (f (x)) | + C

1
dx = tan x + C
cos2 x

1
· f (x) dx = tan (f (x)) + C
cos2 (f (x))

1
dx = −cotan x + Csen2 x
√

sen2

1
dx = arc sen x + C
1 − x2

1
dx = arctan x + C
1 + x2

0 Dpto.

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla
a

1
· f (x) dx = −cotan (f (x)) + C
(f (x))
1

1 − f (x)2

· f (x) dx = arc sen (f (x)) + C

1
· f (x) dx = arctan (f (x)) + C
1 + f (x)2

´
´
2 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES

2.

2

F´rmula de integraci´n por partes
o
oudv = uv −

vdu

La f´rmula de integraci´n por partes es aplicable cuando el integrando se puede expresar como proo
o
ducto de dos funciones, una de las cuales, dv, tiene integral inmediata y la otra, u, al derivarla, nos
conduce a una funci´n, du, de modo que el nuevo integrando vdu sea m´s sencillo.
o
a
Ejemplo 1. Hallar la integral

x cos x dx.

Resoluci´n.
o
x cos x dx =

u=xdv = cos x dx

du = dx
v = − sen x

Ejemplo 2. Hallar la integral

=

−x sen x −

− sen x dx = −x sen x − cos x + C

x2 ex dx.

Resoluci´n.
o
=

u = x2
dv = ex dx

du = 2x dx
v = ex

=

x2 ex dx

u = 2x
dv = ex dx

du = 2 dx
v = ex

Ejemplo 3. Hallar la integral
Resoluci´n. Denotemos por I =
o

= x2 ex −

= x2 ex − 2xex −

ex cos x dx

u = cos x
dv =ex dx

u = sen x
du = cos x dx
dv = ex dx
v = ex

du = − sen x dx
v = ex

= ex cos x +

Despejando I, tenemos que

0 Dpto.

ex cos x dx =

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla
a

ex sen x dx

= ex cos x + ex sen x −

ex (cos x + sen x) − I + C

I=

= x2 − 2x + 2 ex + C

ex cos x dx.

=

=

2ex dx

ex cos x dx.

=

I=

2xex dx

1 x
e (cos x +sen x) + C
2

ex cos x dx

´
´
2 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES

Ejemplo 4. Hallar la integral

3

ln x dx.

Resoluci´n.
o
ln x dx =

u = ln x
dv = dx

1
dx
x
v=x

du =

=

x ln x −

1
x dx = x ln x − x + C
x

Consejos para elegir u y dv.
(1) Se debe comenzar por elegir dv. Para ello, en la escala de prioridades, la exponencial siempre tiene
preferencia,seguida de las funciones trigonom´tricas “senoτ “coseno”.
e
(2) Si en el integrando aparece una exponencial (que tenga primitiva), entonces se asigna dv a la
exponencial.
(3) Si en el integrando aparece un “seno.o “coseno”, entonces se le asigna tambi´n el dv, excepto
e
cuando aparecen ambos (la exponencial y el “seno.o “coseno”), como es el caso del Ejemplo 3.
(4) En general, a lospolinomios se les debe asignar u, puesto que si le asignamos dv, cuando se integra
el polinomio para calcular v, el resultado que se obtiene es un polinomio de un grado superior. No
obstante, esta regla tiene excepciones, como la del Ejemplo 4. en este ejemplo, no hay ninguna funci´n
o
que sea f´cilmente integrable, por lo que no nos queda otro remedio que asignar dv al polinomio 1
a
multiplicadopor dx.

0 Dpto.

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla
a

3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

3.

4

Integrales de funciones racionales
En esta secci´n nos planteamos calcular integrales del tipo
o

polinomios en x.

P (x)
dx, donde P (x) y Q(x) son dos
Q(x)

NOTA IMPORTANTE. Si el grado del polinomio P (x) es mayor que el del polinomio Q(x),
entonces siempre...