Tabla resumida de integrales

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1 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1

Repaso de integraci´n o
1. Tabla de integrales inmediatas
xn+1 + C, si n = −1 n+1 f (x)n+1 + C, si n = −1 n+1

xn dx =

f (x)n · f (x) dx =

1 dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C ax +C ln a

1 · f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ef (x) · f (x) dx = ef (x) + C af (x) +C ln a

ax dx =

af (x) · f (x) dx =

sen x dx = − cos x + C

sen (f (x)) · f(x) dx = − cos (f (x)) + C

cos x dx = sen x + C

cos (f (x)) · f (x) dx = sen (f (x)) + C

tan x dx = − ln | cos x| + C

tan (f (x)) · f (x) dx = − ln | cos (f (x)) | + C

ctan x dx = ln | sen x| + C 1 dx = tan x + C cos2 x 1 dx = −cotan x + C sen2 x √ 1 dx = arc sen x + C 1 − x2

ctan (f (x)) · f (x) dx = ln | sen (f (x)) | + C 1 · f (x) dx = tan (f (x)) + C cos2 (f (x)) 1 · f (x)dx = −cotan (f (x)) + C (f (x)) 1 1 − f (x)2 · f (x) dx = arc sen (f (x)) + C

sen2

1 dx = arctan x + C 1 + x2

1 · f (x) dx = arctan (f (x)) + C 1 + f (x)2

0 Dpto.

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla a

´ ´ 2 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES

2

2.

F´rmula de integraci´n por partes o o

udv = uv −

vdu

La f´rmula de integraci´n por partes es aplicablecuando el integrando se puede expresar como proo o ducto de dos funciones, una de las cuales, dv, tiene integral inmediata y la otra, u, al derivarla, nos conduce a una funci´n, du, de modo que el nuevo integrando vdu sea m´s sencillo. o a Ejemplo 1. Hallar la integral Resoluci´n. o x cos x dx = u=x du = dx dv = cos x dx v = − sen x x2 ex dx. = −x sen x − − sen x dx = −x sen x − cos x + C x cos x dx.Ejemplo 2. Hallar la integral Resoluci´n. o x2 ex dx = = u = x2 dv = ex dx u = 2x dv = ex dx

du = 2x dx v = ex du = 2 dx v = ex

= x2 ex −

2xex dx 2ex dx = x2 − 2x + 2 ex + C

= x2 ex − 2xex −

Ejemplo 3. Hallar la integral Resoluci´n. Denotemos por I = o I= ex cos x dx = = =

ex cos x dx. ex cos x dx. du = − sen x dx v = ex = ex cos x + ex sen x dx ex cos x dx

u = cos x dv = exdx

u = sen x du = cos x dx dv = ex dx v = ex ex (cos x + sen x) − I + C

= ex cos x + ex sen x −

Despejando I, tenemos que I= ex cos x dx = 1 x e (cos x + sen x) + C 2

0 Dpto.

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla a

´ ´ 2 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES

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Ejemplo 4. Hallar la integral Resoluci´n. o ln x dx =

ln x dx.

u = ln x du = dv = dx

1 dx x v=x

=x ln x −

1 x dx = x ln x − x + C x

Consejos para elegir u y dv. (1) Se debe comenzar por elegir dv. Para ello, en la escala de prioridades, la exponencial siempre tiene preferencia, seguida de las funciones trigonom´tricas “senoτ “coseno”. e (2) Si en el integrando aparece una exponencial (que tenga primitiva), entonces se asigna dv a la exponencial. (3) Si en el integrando aparece un“seno.o “coseno”, entonces se le asigna tambi´n el dv, excepto e cuando aparecen ambos (la exponencial y el “seno.o “coseno”), como es el caso del Ejemplo 3. (4) En general, a los polinomios se les debe asignar u, puesto que si le asignamos dv, cuando se integra el polinomio para calcular v, el resultado que se obtiene es un polinomio de un grado superior. No obstante, esta regla tiene excepciones,como la del Ejemplo 4. en este ejemplo, no hay ninguna funci´n o que sea f´cilmente integrable, por lo que no nos queda otro remedio que asignar dv al polinomio 1 a multiplicado por dx.

0 Dpto.

Matem´tica Aplicada I, Universidad de Sevilla a

3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

4

3.

Integrales de funciones racionales
En esta secci´n nos planteamos calcular integrales del tipo o P(x) dx, donde P (x) y Q(x) son dos Q(x)

polinomios en x.

NOTA IMPORTANTE. Si el grado del polinomio P (x) es mayor que el del polinomio Q(x), entonces siempre podemos efectuar la divisi´n entre polinomios, de modo que el integrado lo podemos o expresar como R(x) P (x) = C(x) + Q(x) Q(x) siendo C(x) (cociente) y R(x) (resto) polinomios, este ultimo, con grado estrictamente menor que el ´...
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