Taller complementario tema: funciones – l´mites ı ´ calculo i abril de 2011

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Taller Complementario Tema: Funciones – L´mites ı ´ Calculo I Abril de 2011

´ 1. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco esta a 6 Km de la playa y pasa por un faro al medio d´a. ı ´ a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una funcion de d,la distancia que el barco recorre desde el medio d´a; es decir, hallar f de modo que s = f (d). ı ´ b) Exprese a d como una funcion de t, el tiempo transcurrido desde el medio d´a; es decir, hallar g de ı tal manera que d = g(t). ´ ´ c) Hallar f ◦ g. ¿Que representa esta funcion? 2. ´ ´ ´ ´ a) Halle la expresion para la funcion cuadratica cuya gra ca se muestra en la Figura A. ´ b) (i) Si desplazauna curva hacia la izquierda, ¿que pasa con su re ejo respecto a la l´nea y = x? En ı ´ ´ vista de este principio geometrico, encuentre una expresion para la inversa de g(x) = f (x + c) ´ donde f es una funcion uno a uno. ´ (ii) Encuentre una expresion para la inversa de h(x) = f (c · x), donde c = 0.

y
(−2, 2) 1 0 (0, 1) 1

x
(1, −2.5)

Figura A.

Figura B.

´ 3. Una ventana normandatiene la forma de un rectangulo coronado por un semic´rculo. Si el per´metro de ı ı ´ ´ la ventana es de 30 pies, exprese el area A de ella como funcion del ancho de la misma. (Ver Figura B). ´ 4. Cuando se apaga el ash de una camara, las bater´as empiezan de inmediato a recargar el capacitor ı ´ del ash, el cual almacena carga electrica dada por Q(t) = Q0 1 − e−t/a . ´ (La capacidad maxima decarga es Q0 y t se mide en segundos). ´ a) Encuentre la inversa de esta funcion y explique su signi cado. ´ b) ¿Cuanto tarda en cargar el capacitor hasta 90 % de su capacidad si a = 2? √ ´ ´ a) Demuestre que la funcion f (x) = ln(x + x2 + 1) es una funcion impar. ´ b) Encuentre la funcion inversa de f .

5.

´ 6. Determine si la a rmacion dada es verdadera o falsa, justi que claramente surespuesta. a) b) c) d) Sea x ∈ R − {0}, entonces −x < x. Si a, b ∈ R y a < b entonces a2 < b2 . ´ ´ El valor maximo de la funcion g(x) = x2 − 2x + 2 es g(1) = 1. ´ Existen numeros racionales que son tambien irracionales. ´ √ 1+x x y g(x) = , es el conjunto x−1

´ e) El dominio de la funcion h(x) = (g ◦ f )(x), donde f (x) = (−∞, −1] ∪ (1, ∞).

7.

x2 − 1 a) Encuentre el dominio de h(x) = √ . 2 +5x  1 − 2x, x < −1; −1 < x < 3; ´ b) Considere la siguiente funcion g(x) = √ 3,  x + 1, x > 3. ´ Encuentre dom g, g(−2), g(0), g(2), g(5) y trace su gra ca. 5 + 2x ´ ´ c) Encuentre una formula para la funcion inversa de f (x) = . 2 + 5x
1 2f

´ ´ 8. A partir de la gra ca de y = f (x) trace la gra ca de y = y

(x + 1) + 3.

y = f (x) x

θ 10 cm

10 cm Figura del canal.

θ 10 cm

´9. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a partir de una lamina de metal de 30 cm de ancho ´ ´ ´ doblando hacia arriba una tercera parte de la lamina en cada lado a traves de un angulo θ. Encuentre ´ ´ ´ ´ una expresion para el area frontal del canal en funcion del angulo θ. (Ver Figura del canal). ´ ´ ´ 10. En la gura se muestra la gra ca de una funcion y = f (x), cuyo dominio es [0,4]. Gra car la ecuacion dada. y y = f (x) a) y = f (x + 3). b) y = f (x − 2). x d ) y = f (x) + 2. 1 e) y = f (x). 3 c) y = f (x) − 3. f) g) h) i) = −2f (x). = f (−3x). = 2 − f (x + 4). = f (x − 3) − 2. 1 x . j) y = f 2 y y y y

11. Una re ner´a se localiza al norte de la orilla de un r´o recto que es de 2 km de ancho. Se debe construir ı ı una tuber´a desde la re ner´a hasta un tanque dealmacenamiento que se localiza al sur de la orilla del ı ı ´ ´ r´o 6 km al este de la re ner´a. El costo de instalacion de la tuber´a es 400.000 dolares/km en tierra ı ı ı ´ hasta el punto P al norte de la orilla y 800.000 dolares/km bajo el r´o hasta el tanque. Encuentre una ı ´ ´ expresion para el costo de la tuber´a en funcion de la distancia entre la re ner´a y el punto P . ı ı ´ ´ 12. El...