Taller Final De Metodos Numericos





1. Resolver el problema de valor inicial de manera analítica para el intervalo [0,2]. Compara con métodos de Euler, Heun y RK4. Graficar.


Solución analítica









Como para Euler, Heun y RK4 trabajaremos con h=0,1 y h=0,5 hallemos las soluciones analíticas correspondientes a los , dado el intervalo [0,2] con la solución encontrada anteriormente, y donde . Para ser más prácticosdaremos estas soluciones en una tabla:
Solución real para h=0,5





0
0
1
1
0,5
0,572161873
2
1
0,420350385
3
1,5
0,509156421
4
2
1,305605172



Solución Real para h=0,1


k


0
0
1
1
0,1
0,887216126
2
0,2
0,788728335
3
0,3
0,703983754
4
0,4
0,632125918
5
0,5
0,572161873
6
0,6
0,523090913
7
0,7
0,484001794
8
0,8
0,454147459
9
0,9
0,4330076
10
1
0,420350385
11
1,1
0,416306574
12
1,2
0,421472815
131,3
0,437067923
14
1,4
0,465178846
15
1,5
0,509156421
16
1,6
0,574263651
17
1,7
0,668757789
18
1,8
0,805735302
19
1,9
1,006353431
20
2
1,305605172

Con las tablas anteriores realizaremos las comparaciones con los métodos a utilizar, donde utilizaremos dos tamaños de paso, h, diferentes para analizar el comportamiento de los métodos y su precisión.

Método de Euler
Para este método utilizaremos losalgoritmos de Euler dados por:


Donde
Dadas las condiciones iniciales tenemos que

Para h=0,5





Realizando un procedimiento similar al anterior obtenemos los resultados para con h=0.1, los cuales mostramos en la siguiente tabla:
Euler con h=0.1


k


0
0
1
1
0,1
0,88
2
0,2
0,77528
3
0,3
0,68534752
4
0,4
0,609273945
5
0,5
0,545909455
6
0,6
0,494048057
7
0,7
0,45254802
8
0,80,420417111
9
0,9
0,396873752
10
1
0,381395676
11
1,1
0,373767763
12
1,2
0,37414153
13
1,3
0,383120927
14
1,4
0,401893852
15
1,5
0,432437785
16
1,6
0,477843753
17
1,7
0,542830503
18
1,8
0,634568858
19
1,9
0,764020905
20
2
0,948149943




Método de Heun
Aplicando los algoritmos de Heun dados por:



Donde
Dadas las condiciones iniciales tenemos que
Presentamos las tablas con los resultados parah=0,5 y h=0,1
Heun con h=0,5


k


0
0
1
1
0,5
0,605
2
1
0,44543125
3
1,5
0,52839282
4
2
1,231155271




Método de RK4
Aplicando los algoritmos de Heun dados por:


Donde
Dadas las condiciones iniciales tenemos que
Presentamos las tablas con los resultados para h=0,5 y h=0,1
RK4 con h=0,1


k


0
0
1
1
0,1
0,887216312
2
0,2
0,788728649
3
0,3
0,703984144
4
0,4
0,632126339
5
0,5
0,572162293
60,6
0,523091314
7
0,7
0,484002168
8
0,8
0,454147808
9
0,9
0,433007928
10
1
0,4203507
11
1,1
0,416306885
12
1,2
0,421473128
13
1,3
0,437068242
14
1,4
0,465179168
15
1,5
0,509156718
16
1,6
0,574263807
17
1,7
0,668757429
18
1,8
0,805733308
19
1,9
1,006346643
20
2
1,305584925




Las siguientes tablas nos muestran la comparación del análisis real con los métodos utilizados y adicionalmente su graficah=0,5





k

real
Euler
Heun
RK4
0
0
1
1
1
1
1
0,5
0,572161873
0,4
0,605
0,572343644
2
1
0,420350385
0,21
0,44543125
0,420374853
3
1,5
0,509156421
0,189
0,52839282
0,509104256
4
2
1,305605172
0,2882
1,231155271
1,298550271

Grafica






h=0,1





k

Real
Euler
Heun
RK4
0
0
1
1
1
1
1
0,1
0,887216126
0,88
0,88764
0,887216312
2
0,2
0,788728335
0,77528
0,789468791
0,788728649
3
0,30,703983754
0,68534752
0,704946684
0,703984144
4
0,4
0,632125918
0,609273945
0,633233867
0,632126339
5
0,5
0,572161873
0,545909455
0,573355273
0,572162293
6
0,6
0,523090913
0,494048057
0,524327663
0,523091314
7
0,7
0,484001794
0,45254802
0,485255815
0,484002168
8
0,8
0,454147459
0,420417111
0,455406759
0,454147808
9
0,9
0,4330076
0,396873752
0,434272242
0,433007928
10
1
0,420350385
0,3813956760,421630577
0,4203507
11
1,1
0,416306574
0,373767763
0,41762087
0,416306885
12
1,2
0,421472815
0,37414153
0,422846143
0,421473128
13
1,3
0,437067923
0,383120927
0,43852866
0,437068242
14
1,4
0,465178846
0,401893852
0,466753242
0,465179168
15
1,5
0,509156421
0,432437785
0,510856756
0,509156718
16
1,6
0,574263651
0,477843753
0,576062512
0,574263807
17
1,7
0,668757789
0,542830503
0,670532156
0,668757429
18...