tangente

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Junio 2009, pp. 7-15

La recta tangente: notas históricas y actividades para el aula

Se hace un recorrido histórico por el concepto de tangente, se analizan las ideas que del mismo tienen los alumnos, y se exponen
algunas actividades relacionadas, para el aula de matemáticas.

A historical itinerary has bean done on the tangent concept, the pupils ideas of this theme are analyzed, andsome activities related to it are shown, for the mathematics classroom.

E

ste artículo trata de la recta tangente. Los alumnos de
Cálculo, tanto en bachillerato como en la Universidad saben,
en su mayoría, encontrar la tangente a una curva en un punto
utilizando la derivada. Sin embargo, la mayoría dudan cuando se les muestra un dibujo de una curva y una recta, y se les
pregunta si esarecta es tangente a la curva. Esto quiere decir
que no tienen una idea clara del concepto geométrico de tangencia. Cosa que, por otro lado, no es de extrañar teniendo en
cuenta que los matemáticos tardaron más de 2000 años en
aclarar este concepto.
En primer lugar, se hace un breve recorrido histórico donde
se muestran algunos intentos por calcular esta recta, cuando
no se sabía exactamentequé características tenía. En segundo lugar se analizan las ideas que tienen los alumnos acerca
de la recta tangente, y se propone una actividad, útil para
afianzar la idea geométrica de la tangencia, que consiste en
obtener la tangente a un polinomio, sin usar la derivada. En
tercer lugar se exponen algunas actividades relacionadas con
la tangente para el aula de matemáticas. Todas ellas seestructuran en tres pasos: exploración, enunciado y prueba guiada.
Tienen que ver con las subtangentes, las tangentes a exponenciales o las rectas tangentes de Descartes.

interesado a los matemáticos. El problema era que el concepto de tangente se intuía, pero no se era capaz de dar una definición formal e inequívoca del mismo. Hasta que Cauchy, en
1823, definió la derivada y solventó elproblema, los matemáticos intentaron obtener la tangente a una curva en un punto
mediante diversos e ingeniosos métodos, hoy día totalmente
olvidados. En esta sección se hará un breve recorrido por
estos métodos.
Los griegos tenían la idea de que la tangente a una curva era
una recta que “tocaba” a la curva sin cortarla. Hay que destacar a Euclides (325 a. C., 265 a. C.), quien analizó elcomportamiento de una recta trazada por una circunferencia y formando un ángulo recto con su diámetro (ver Suzuki, 2005).
Las dos propiedades que observó parecían constituir para él
las características de la tangente:
1. La recta sólo tiene en común un punto con la circunferencia.
2. Es imposible interponer otra línea entre esa recta y la
circunferencia.
Apolonio (262 a. C., 190 a. C.), en suslibros dedicados a las
cónicas desarrolló métodos geométricos para la construcción

Notas históricas
Desde la época griega, la búsqueda de la recta tangente a una
curva en un punto ha sido uno de los asuntos que más ha

Félix Martínez de la Rosa
Departamento de Matemáticas. Universidad de Cádiz

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de rectas tangentes a parábolas, elipses e hipérbolas. Aquímostramos su método para construir rectas tangentes a parábolas:
Sea P un punto de la parábola de vértice E, con PD perpendicular al eje de simetría de la parábola. Si A está el eje de simetría y AE = ED, entonces AP será tangente a la parábola en P
(Figura 1).

C

P

Figura 2

D

Solución: Tomemos una circunferencia de radio r y centro,
P(h, 0) cuya ecuación es:
(x – h)2 + y2 = r2

PLos puntos de intersección entre circunferencia y curva se
obtienen de resolver el siguiente sistema:

E

⎧ y 2 + x 2 − 2hx + h2 − r 2 = 0
⎪
⎨
y= x
⎪
⎩

A

Sustituyendo el valor de y en la primera ecuación se obtiene:
Figura 1

x 2 + (1 − 2h)x + (h2 − r 2 ) = 0

En la primera mitad del siglo XVII (antes de los trabajos de
Newton y Leibniz), se desarrollaron algoritmos...