Tanque Cónico
Análisis de la variación del caudal en el tiempo mediante una válvula
A continuación se procede con un análisis del caudal de un fluido (agua) y la variación que tiene en el tiempoen un tanque cónico. Se analiza a partir de unos valores iniciales los cuales son optimizados para asegurar su estabilidad.
Obtención del modelo matemático
Válvula
Teorema de BernoulliLa válvula se comporta como un orificio:
P1/γ+〖V1〗^2/2g+Z1+Hb= P2/γ+〖V2〗^2/2g+Z2+ht
P1/γ+〖V1〗^2/2g= P2/γ+〖V2〗^2/2g
Fluido incompresible ρ1=ρ2
P1/γ-P2/γ+〖V1〗^2/2g= 〖V2〗^2/2g(P1-P2)/(ρ*g)= (〖V2〗^2-〖V1〗^2)/2g
2*g((P1-P2)/(ρ*g))= 〖V2〗^2-〖V1〗^2
Se toma la mayor velocidad porque la otro es mínima
V2= √((2*(P1-P2))/ρ)= √(2*h)
Resistencia de la válvula que hacedisminuir la velocidad
V= β√(2*h)
Ecuación de continuidad Q= A*V
Qs=A*β*√(2*h(t))
Tobera
Para el nivel h de contenido de agua, el volumen es: v=1/3*π*r^2*h
Según funcióntrigonométrica : tanα=(cateto opuesto)/(cateto adyacente)= r/h
Por tanto: v=1/3*π*〖tan〗^2 α*h^3
Derivando respecto al tiempo
dv/dt=[(1/3*π*〖tan〗^2 α)*h^3]dh/dt
dv/dt=[(1/3*π*〖tan〗^2α)*3*h^2]dh/dt
dv/dt=π*〖tan〗^2 α*h^2 dh/dt
Balance de materia
Entrada + Generación = Salida + Acumulación
Qe=A*β*√(2*h(t)) + π*〖tan〗^2 α*h^2 dh/dt
Linealización
√(h(t)) Mediante series de Taylor
√(h(t))=√h0+ (h(t))/(2*√h0)
Aplicando Laplace
( 2π*〖tan〗^2 α*h^2 √h0)/(A√(2h(s))) sh(s)+ h(s)=(Aβ√h0)/(A√2h)*Qe (s)
Función de transferencia
Ft(s)=(h(s))/(Qe(s))= ((β√h0)/√2h)/(( 2π*〖tan〗^2 α*h^2 √h0)/(A√2h) s+1 )
Ft(s)=(h(s))/(Qe(s))= 1/(83.96 s+1 )
Datosh0= 4m
h = 8m
r = 2
α=45°
A = π*r^2*0,5
Respuesta en el tiempo
Análisis de la respuesta en el tiempo
A partir de la gráfica podemos inferir que el sistema posee un polo...
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