Tarea 4 mate solucion

Solución a la tarea 4

1. Obtén los puntos críticos de cada función [pic], aplica el criterio de las segundas derivadas parciales a cada punto crítico obtenido para determinar si existe ahí un máximo, un mínimo o ninguna de las dos cosas.

a) [pic]
Solución:
[pic]
[pic]

[pic]

Punto crítico (1,3)[pic]

[pic]en el punto (1,3) z tiene un valor máximo.

b) [pic]
Solución:
[pic]
[pic]

[pic]

Punto crítico (2,-5)

[pic]

en el punto (2,-5) z tiene un punto silla.

c) [pic]
Solución:
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Puntoscríticos
[pic] [pic]

[pic]

Para (0,0)
[pic]

en (0,0) z tiene un punto silla

Para (1,-1)
[pic]

en el punto (1,-1) z tiene un valor mínimo.

d) [pic]
Solución:
[pic]
[pic]

[pic]

Puntos críticos

[pic]

Para (1,-2)
[pic]

En el Punto (1,-2) z tiene unvalor mínimo

Para (-1, -2)
[pic]

En el punto (-1, -2) z tiene un punto silla.

2. Se desea construir una caja rectangular de tal forma que la suma del largo, el ancho y la altura sea 24 cm. ¿Cuáles deben las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo?.

Aplica el criterio de las segundas derivadas parciales para verificar que el punto crítico obtenido en lasolución de este problema es efectivamente un valor máximo.
Solución:
Se desea maximizar el volumen de la caja V = xyz
Pero se debe satisfacer la condición x + y + z = 24 o sea z = 24 – x – y
Poniendo esta restricción al volumen, tenemos
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Puntos críticos
[pic] (0,0)

[pic] (24,0)si y = 24 – 2x

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Puntos críticos
[pic]
(0, 24)
[pic]
(8, 8)

[pic]

Para (0,0)
[pic]
punto silla

Para (24,0)
[pic]
punto silla

Para (0, 24)
[pic]
punto sillaPara (8, 8)
[pic] y [pic]
hay un máximo.

Máximo volumen x = 8, y = 8, z = 24 – 8 – 8 = 8

3. Localiza el punto del plano con ecuación [pic] más cercano al origen.

Nota: La distancia de un punto [pic] al origen es [pic]. Cuando se quiere minimizar una distancia, en ocasiones es conveniente minimizar el cuadrado de la distancia, lo cual es equivalente a minimizar ladistancia; en nuestro caso el cuadrado de la distancia es [pic], esta nueva expresión es mucho mas manejable que la expresión para distancia porque no contiene a la raíz cuadrada.

Aplica el criterio de las segundas derivadas parciales para verificar que el punto crítico obtenido en la solución de este problema es efectivamente un valor mínimo.

Solución:
Sea (x, y, z) un puntocualesquiera del plano [pic] buscamos de todos los puntos el que esté más cercano al origen (0,0,0) queremos que la distancia de (x,y,z) a (0,0,0) sea mínima.
[pic]
[pic]
El punto (x, y, z) que hace mínima a d también hace mínima a [pic]por lo tanto Buscamos (x, y, z) que hace mínima a
[pic]
tenemos la restricción de que (x, y, z) debe satisfacer [pic] o
[pic]
Sustituyendo estarestricción en D tenemos
[pic]

Entonces
[pic] [pic]
[pic] [pic]

[pic] [pic]

Punto crítico [pic]

[pic]

[pic] y [pic]

[pic]D es mínima si [pic] [pic] y [pic]
[pic]

4. La SEP desea construir una nueva escuela primaria que pueda servir a tres comunidades [pic] y [pic] en el Estado de Chiapas. Los responsables han colocado...