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AXIOMA DEL SUPREMO
C Definición.- Se dice que un cuerpo ordenado verifica el axioma del supremo, cuando todo subconjunto A no vacío de K y acotado tiene supremo en K. C Proposición.- En todo cuerpoK arquimediano y completo se verifica el axioma del supremo, Sea A un conjunto de K no vacío y acotado superiormente y sea s una cota superior de A. Como K es arquimediano, existe un elemento naturalj ∈ K tal que s < y y j es pues cota superior de A. Sea a ∈ A (existe por ser A no vacío) y elijamos que un entero i ∈ K tal que i < a (si a>0, basta tomar i = 0 y si a -a y basta tomar i = - k).Entonces entre i y j hay elementos de A y ningún elemento de A es mayor de j. Para cada natural n, el conjunto de racionales de denominador n comprendidos entre
i= i.n n

ü Demostración:

y

j=j.n es finito y, por tanto, hay uno mínimo que es cota superior de A. Sea tal n

elemento

m1 m y supongamos a n= . n n

Queda definida así una sucesión (an ) de elementos de K. Veamos que esuna sucesión de Cuchy, Si y m' 1 q a p= m p y aq= m' q son dos términos arbitrarios de la sucesión (an), como m p y y m' no lo son, se tiene q m' m1  q p m1 p

son cotas superiores de A y m m'1 p q

Por tanto si a q ≤a p 0≤a p −a q= Por tanto si a p ≤a q 0≤a q−a p= m ' m m1 m 1 −  − = q p p p p 1 1 ≤ p n0 1 1 ≤ q n0 m m ' m' 1 m ' 1 −  − = p q q q q

Por ser K arquimediano, para cadaε > 0 de K existe un número natural n0 tal que 1/n0 < ε. Y para p ≥ n0 y q≥ n0 se tiene 1 ∣a p−a q∣≤  p Luego (an) es efectivamente una sucesión de Cauchy de K, y y por consiguiente

Como K escompleto, existe un x ∈ K tal que x = lim n an . Veamos que x = Sup A Si existiera un b ∈ A tal que b > x sería b – x > 0 y, por ser K arquimediano existe un natural n, tal que
1 n1 b− x

Y portanto xb− 1 n1 1 n1

Y como lim n an = x existirá un número natural n2 tal que a nb− para n ≥ n2

Y para n ≥ max {n1 ,n2 }, resultaría a n= Luego m 1 1 b− b− n n1 n1 m1 es cota superior de...
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