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Unidad: V

Integrante;
Oscar Daniel Garza Rangel
José Gerardo Martínez Castañeda
Braylosky de León Ledesma
Juan Francisco Barrera Navarro
Algebra lineal.
Tema:

Transformaciones lineales:
Introducción:
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional,al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal atoda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Definición de transformación lineal y sus propiedades.
Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función 

 tal que:

 

 ii)  



 

.
Enotras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si 

 es una transformación lineal, entonces 

En efecto

Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguienteinciso.
ii)

 es lineal si y solo si





Si T lineal, entonces

Inversamente, supongamos que





. Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a)   

.
b)  

Nótese que usamos el hecho de que 

lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

Núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
Definición 94 Sea
unatransformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal
, denotado por
al conjunto de las pre imágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de las pre imágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores
de
tales que

Evaluando

es decir,

Luego, utilizando la matriz asociada al sistema,obtenemos

por lo tanto,

Con lo cual,
(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z)
= z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las pre imágenes del vector nulo es el subespacio

Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las pre imágenes de un vector para una transformación lineal dada.
Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

Solución: Como tenemos queReemplazando
Imagen o Recorrido
Recordemos la definición de recorrido.
Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal

La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal.
Representación matricial de una transformación lineal.
Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y{w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.
* Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una...
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