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Criterio de divisibilidad por 4
Un número n tiene resto "a" en la división por 4 si el número formado por las dos últimas cifras tiene resto "a" en la división por 4.
Por ejemplo 356752 esdivisible por 4 porque 52 es divisible por 4. Del mismo modo 47863423 tiene resto 3 en la división por 4 porque 23 tiene resto 3 en la división por 4.
La demostración de este criterio es sencilla. Si a N lerestamos el número formado por sus dos últimas cifras (llamémoslo B) obtenemos un número terminado en dos ceros, o sea múltiplo de 100 y por tanto múltiplo de 4. Entonces dado que 4 | N-B, según lovisto en las clases de congruencias tenemos que N = B mód (4), o lo que es lo mismo N tiene el mismo resto en la división por 4 que B.
Ahora… para demostrar que la suma de dos números imparesconsecutivos es siempre múltiplo de 4 puedo plantear lo siguiente:
1) Tenemos que n= a un número entero cualquiera y que 2n= un número par cualquiera, por lo que un número impar es igual a 2n-1 y el imparsiguiente a este es igual a este número más dos, esto es, 2n-1+2= 2n+1, ahora sumamos estos dos números impares cualesquiera consecutivos y obtenemos:
2n-1 + (2n+1) = 2n+2n-1+1 = 4n
Ahora dividimoseste número que obtuvimos entre 4 y obtenemos:
4n/4 = n = número entero cualquiera.
Con esta división exacta comprobamos que la suma de dos números impares consecutivos siempre es un múltiplo de 4.2) Si "n" corresponde a un número natural, entonces "2n+1" corresponde a todo número impar. Además, 4n corresponde a un número múltiplo de 4.
Si es así, entonces:
Sea (2n+1) un número impar y (2n+3) elsiguiente número impar.
Los sumamos:
2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4
Ahora bien, en la expresión dijimos que "4n" corresponde a un múltiplo de 4, y si a un múltiplo de 4 le sumamos 4, sigue siendo unmúltiplo de 4.
La suma de tres números impares consecutivos es SIEMPRE
I) Divisible por 3.
II) II) Divisible por 6.
III) III) Divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A) Sólo I...
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