Tarea

Ejercicios de Matemáticas I Relación 1: Funciones reales de variable real. Continuidad y límite funcional
1. Estúdiese la continuidad y el comportamiento en +∞ y en −∞ de la función f : R −→ R definida por a) f (x) = b) f (x) =     c) f (x) = x , ∀x ∈ R. 1 + |x|
1 1+e1/x

si x = 0 si x = 0

0
ex x

si x < 0 si 0 ≤ x < 1 x si x ≥ 1

x  √  5 

2. Dése un ejemplo de función ... a) continuacuya imagen no es un intervalo. b) no continua en un intervalo y cuya imagen es un intervalo. c) continua en R, no constante y cuya imagen sea un intervalo acotado. d) continua en [0, 1[ cuya imagen no es acotada. e) continua en un intervalo abierto acotado cuya imagen es un intervalo cerrado y acotado. 3. Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real. 4. Sean P, Q : R −→ Rdos funciones polinómicas. Estudiar el comportamiento en +∞ P y −∞ de la función racional . Q 5. Sea P un polinomio de grado n tal que el término independiente y el coeficiente líder tienen signo opuesto. Pruébese que P tiene al menos una raíz positiva. 6. Probar que existe un número real positivo x tal que √ ln x + x = 0. 7. Probar que que la ecuación tg x = x tiene infinitas soluciones.Universidad de Granada Departamento de Análisis Matemático

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Ejercicios de Matemáticas I 8. Probar que la ecuación x + ex + arctg x = 0

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tiene una sola raíz real. Dar un intervalo de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz. 9. Sea f : R\{1} −→ R la función definida por: f (x) = arctan 1+x 1−x

Estúdiese la continuidad de f y su comportamiento en elpunto 1, en +∞ y en −∞. 10. Sea f :]0, π/2[−→ R definida por f (x) = 1 tan x
sen x

, ∀x ∈]0, π/2[.

Probar que f tiene límite en 0 y π/2 y calcular dichos límites. 11. Sea f :]0, π/2[−→ R definida por f (x) = (1 + sen x)cot x , ∀x ∈]0, π/2[. Estudiar el comportamiento de f en 0 y π/2. 12. Sea f : R+ \{e} −→ R definida por f (x) = x ln x−1 , ∀x ∈ R+ \{e}. Estudiar el comportamiento de f en 0, e y +∞.13. Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una función continua en [0, 1]. Pruébese que f tiene un punto fijo, es decir, que existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x. 14. Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura. 15. Un escalador comienza, desde su campamentobase, a subir a una montaña el Sábado a las 7 horas, alcanzando la cima a las 8 de la tarde. A las 7 horas del Domingo inicia el descenso hacia el campamento base tardando el mismo tiempo que le costó la subida. Demostrar que existe una determinada hora, a lo largo del Domingo, en la que el escalador se encuentra exactamente a la misma altura que a esa misma hora del Sábado.
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Ejercicios de Matemáticas I

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16. Un corredor recorre 6 Km. en 30 minutos. Pruébese que existe un intervalo de 5 minutos a lo largo del cual el corredor recorre exactamente 1 kilómetro.

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Matemáticas I Grado en Ingeniería Civil

Ejercicios deMatemáticas I Relación 2: Cálculo diferencial en una variable
1. Calcúlese la derivada de las siguientes funciones cuyas ley viene dada por: a) f (x) = sen(x + 3). b) f (x) = cos2 (x3 ). 1 c) f (x) = . cos x 1+x d) f (x) = . 1−x √ e) f (x) = x2 + 1. √ 3 x−1 √ f ) f (x) = 5 x h) f (x) = x4 ex ln x. i) f (x) = xx . √ √x j) f (x) = x . 2. Calcúlese la tangente de la gráfica de la función f : R −→ R definida porf (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 40 que es paralela al eje OX. 3. Calcúlese la tangente de la gráfica de la función f : R −→ R en el punto P en cada uno de los siguientes casos: a) f (x) = x2 + 1, P = (3, 10). b) f (x) = cos x, P = (π/2, 0). c) f (x) = |x|, P = (1, 1). x , P = (0, 0). d) f (x) = 2 x +1 4. Dada una función f : A −→ R, estúdiese la continuidad y la derivabilidad en cada uno de los...