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Determinantes

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Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. En este curso estudiaremos, sobre todo, losdeterminantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos. 1.Determinantes de segundo y tercer orden.
a Definición 1. Dada una matriz de orden dos  11  a 21 triz al número que se obtiene así: a11a22 - a12a21. Se representa det A ó A. 3 4 Ejemplo 1: = 3-(-8) = 11. −2 1 a12   , se llama determinante de la maa 22 

Observación. La interpretación geométrica es quees el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22).
Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del determinante, usando el appel Descartes. http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Geometria_determinante/index.htm

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

a 31 a 32 a 33 Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado, según la regla siguiente debida a Sarrus.
Términos positivos Términos negativos

a11 a 21 a 31a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

 1 2 1   Ejemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz A =  4 0 2 .    7 −1 1
Aplicando la regla de Sarrus A= 0 + (-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18

Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente:
Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas. Ladiagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .

2 0 −3 Ejemplo 3. Calcula el valor del determinante −1 2 1 = 16 +15 +18 -10 =39 3 5 4
2 0 -1 2
CV 1

-3 1

Determinantes

Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:

2 0 1 −1 0 1 2 0 1 a) 4 2 1 , b) 5 2 1 , c) ) 4 0 1 . 3 5 4 0 5 4 3 0 4
2. Propiedades delos determinantes

Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres. 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At . (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas). 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. 3. Simultiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número. (Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante) 5 14 3 Ejemplo 4. El determinante 0 7 −8 es múltiplo de 5, ya que la primera columna lo es. También es 10 21 17
múltiplo de 7, pues lo es la 2ª columna, por lo tanto el determinante es múltiplo de 35..

Ejercicio2. Comprueba la afirmación del ejemplo desarrollando por Sarrus.

4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es. 5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0. 1 2 3 Ejemplo 5. 2 4 6 = 0, pues las dos primeras filas son proporcionales. 7 8 9 6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dossumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.
Ejemplo 6:

1 2+4 0 1 2 0 1 4 0 2 3 + 1 1 = 2 3 1 + 2 1 1 (Comprobarlo) 3 5+ 2 1 3 5 1 3 2 1 7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero. 1 −1 0 Ejemplo 7. 2 4 6 = 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras. 3 1 4 8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila...
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