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ESTADISTICA I
ING.NESTOR GUTRIERREZ MERINO
XARIS ELIZABETH PEREZ RAMIREZ
UNIDAD 5
12 de diciembre de 2009

Pruebas de Bondad de Ajuste
Dadas las observaciones (X1,. . ., Xn) independientes, con distribución F, deseamos probar la hipótesis nula H0: “F = F0”. En principio, la hipótesis alternativa será H: “F _= F0”, pero es posible que dentro de estaalternativa múltiple haya algunas distribuciones para las que nos interese especialmente que la prueba tenga una buena potencia.
A la hipótesis H0 se la llama hipótesis de ajuste de la distribución F0 al modelo del cual proviene la muestra. Las pruebas de H0 se llaman pruebas de ajuste.

La idea de una prueba de bondad de ajuste es comparar el histograma,con la mejor densidad de Poisson que lequeda a los datos. Si la discrepancia entre éstos es demasiado grande, entonces se habla de evidencia en contra del hecho de que f(x) sea Poisson (recuerda que por la Ley de los Grandes Números, siempre se parece a f(x), sin importar si ésta última es o no de Poisson).
Hay teoría matemática (llamada máxima verosimilitud) que dice que, en cierto sentido, la mejor densidad de Poisson que le queda alos datos es aquella que tiene parámetro dado por Es decir, el problema se reduce a comparar con

Cómo comparar entre sí las dos funciones y ? Esto es equivalente a comparar entre sí
y
(la letra e es por frecuencia ``esperada'' bajo la densidad de Poisson).
Una forma de comparar las ox con las ex es calculando el valor de

La cantidad se llama estadística de prueba para bondad deajuste. Para entenderla intuitivamente, debes notar que
* es una cantidad positiva o cero.
* Si las ox las ex se parecen mucho, entonces la cantidad será pequeña (y en el caso de que todas las ox sean iguales a las ex).
* Entre más sean las ox y ex las distintas entre sí, mayor es el valor de .
La moraleja es que es una medida de discrepancia entre las ox y ex las que se esperaríanbajo una densidad de Poisson.
Se dice que es demasiado grande si excede cierto valor C que depende de cuántas categorías de x hubo (los valores de C se encuentran calculados por teoría estadística y se anotan en tablas).

Un resultado matemático establece lo siguiente:
Si la densidad f(x) es Poisson, entonces la probabilidad de que exceda C es solo del 5%.
Esto quiere decir que si se obtieneuna muestra de X, y se calcula un valor de que resulta demasiado grande, entonces hay dos posibles explicaciones para ello:
A f(x) es Poisson y tuve buenísima suerte, pues me ocurrió algo que tenía sólo probabilidad 5% de ocurrir
B f(x) no es Poisson, y por eso me salió un valor de demasiado grande
Asumir la explicación A es creer que sólo la suerte explica las cosas y que la naturaleza nosjuega bromas con cosas poco probables. La explicación B es mucho más razonable. La explicación A es posible, pero poco probable.
Prueba de Kolmogórov-Smirnov
En estadística, la prueba de Kolmogórov-Smirnov (también prueba K-S) es una prueba no paramétrica que se utiliza para determinar la bondad de ajuste de dos distribuciones de probabilidad entre sí.
En el caso de que queramos verificar lanormalidad de una distribución, la prueba de Lilliefors conlleva algunas mejoras con respecto a la de Kolmogórov-Smirnov; y, en general, las pruebas Shapiro-Wilk o Anderson-Darling son alternativas más potentes.
Conviene tener en cuenta que la prueba Kolmogórov-Smirnov es más sensible a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la distribución. La prueba de Anderson-Darling proporcionaigual sensibilidad con valores extremos.
Estadístico
La distribución de los datos Fn para n observaciones yi se define como

Para dos colas el estadístico viene dado por

donde F(x) es la distribución presentada como hipótesis.
La prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra se considera un procedimiento de "bondad de ajuste", es decir, permite medir el grado de concordancia existente...
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