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Ejemplo 1.
Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig.4.22). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable,para que el costo total sea mínimo?

Solución:

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua.
Se puede definirahora las constantes y variables del problema:

x: distancia de B a Q; 0 < x > 600

y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua).

600 – x: distancia de Q aD; (longitud de cable por tierra).

k (const): costo por metro de cable por tierra.

5/4k (const): costo por metro de cable por agua. (5/4k = 1.25k)

P : costo total (funcióna minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitágoras,

Ahora, la función costo total viene dada por:

Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse entérminos solamente de la variable x así:

Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0, 600].
Al derivar en (3) eigualar a cero, se obtienen los puntos críticos:

Ejemplo 2.

Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra uncuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución:Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos.
Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado. (fig. 4.24)
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