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En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n esdonde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa enla siguiente variante:



Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o ) se obtiene una tercera representación:



Como ejemplo,para n=2, n=3, n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:


Contenido[ocultar]
1 Teorema generalizado del binomio (Newton)
2 Calcular Binomio
3 Abreviando el binomio
4 Historia
5 Véase también


Teorema generalizado del binomio (Newton) [editar]IsaacNewton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, nonecesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:


(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r −1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:


La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x ey sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Calcular Binomio [editar]Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de formasencilla:


Abreviando el binomio [editar]Puedes calcular un Binomio de Newton sin tener que pasar por todo ese proceso. Si, por ejemplo, el binomio está en la forma de (an + an)z . En este...
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