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APLICACIONES DE LA DERIVADA

UNIDAD 5
EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

Ing.: Abner Hernández Sánchez
Trabajo de: Duran Huchin Erwin M. 1B

INTRODUCCIÓN:
En esta unidad 5 de el Calculo Diferencial, Vimos que cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudiodel cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.
Los problemas de optimización, es dar una rápida introducciónal problema y utilizar los criterios correspondientes, acompañado de los pocos recursos gráficos. Este curso es fundamental para la formación del estudiante, y dentro de sus objetivos está el que el estudiante pueda resolver este tipo de problemas. Pero, desgraciadamente, por lo regular los estudiantes no alcanzan a desarrollar las habilidades algebraicas y geométricas requeridas para planteary resolver dichos problemas.
En este trabajo mostraremos algunos ejemplos de los temas abordados en la unidad, por lo que si nos preocupamos por practicarlo nos iremos dando cuenta que no tienen un grado tan alto de complejidad es cuestión de poner de nuestra parte.

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA PUNTO, CURVAS ORTOGONALES.
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimientode las funciones siguientes:

1. Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
* f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m
* y = x
* α = arc tg 1 = 45º

2.- Dada la curva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente formacon el eje OX un ángulo de 45°.
*
*
*
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*

3.- Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
* m = 1
* f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
* 4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
* x = 0 x = −2 x z= 13/4
* P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos ymínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Concavidades y puntos de inflexión.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

1.

2.

3.

Puntos de inflexión

Representación gráfica

1. Representar la siguiente función:

Dominio

Simetría

Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX:

Punto de corte con OY:Asíntotas
Asíntota horizontal:

Asíntotas verticales.

Asíntota oblicua.

Crecimiento y decrecimiento

Creciente:

Mínimos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

Función creciente y decreciente:

1. Crecientes:   si m es positiva       Observa la recta a en la gráfica inferior |
    a) y = 3x- 1 | pendiente m = 3 ordenada n = -1 | Tabla | x| -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -4 | -1 | 2 | 5 |
|
| | |
| | |
2. Halla la ecuación de una recta paralela a la recta a) y = - 4x +3 y representalas.
| |

3.

Máximos y mínimos.

Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.

2.

3.

4.

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
Hasta ahora se ha usado para la derivada de unafunción “y” con respecto a “x”, la notación de Leibnitz, dxdy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición...
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