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Número natural
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Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó elser humano para contar objetos.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.

Contenido [ocultar]
1 Definiciones
2 Historia
3 Definiciones axiomáticas
3.1 Axiomas de Peano
3.2 Definición en teoría de conjuntos4 Operaciones con los números naturales
5 Propiedades de los números naturales
6 Uso de los números naturales
7 Referencias
7.1 Notas
7.2 Bibliografía
8 Véase también


Definiciones [editar]La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]
Es el conjunto de los números enteros no negativos.
Un número es un símbolo queindica una cantidad
. El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:


Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .

Historia [editar]Antes de que surgieran los números para larepresentación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. dondeaparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente lasletras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisóPeano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjuntode números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Definiciones axiomáticas [editar]Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, deentre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano [editar]Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:

El 1 es un número...
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