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´ ALGEBRA LINEAL I TAREA 1
(VERSION 1.0)

Abstract. Esta es la primera versi´n de la tarea uno. Favor de volver a revisar la pr´xima o o

semana por cambios. Las notas aclaratorias son importantes y constituyen parte de la teor´ de ıa clase.

1. Notas aclaratorias 1. Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci´n unica, o bien tiene un n´mero infinito o ´ u de soluciones, decimosque el sistema es consistente. Si el sistema no tiene soluci´n decimos que es o inconsistente. 2. A las variables de un sistema que no son pivotales se les denomina par´metros del sistema o simplea mente par´metros. a 3. A las variables pivotales tambi´n se les llama variables dependientes ya que estas se pueden escribir en e t´rminos de los par´metros del sistema, en cuyo caso a estos ultimos lesllamamos variables independientes. e a ´ 4. Reservamos el t´rmino de “eliminaci´n Gaussiana” para el proceso mediante el cual un sistema de e o ecuaciones lineales es llevado a un sistema en forma escalonada mediante la aplicaci´n de operaciones o elementales. 5. Reservamos el t´rmino de “eliminaci´n de Gauss-Jordan” para el proceso mediante el cual un sistema e o de ecuaciones lineales es llevadoa un sistema en forma escalonada reducida mediante la aplicaci´n de o operaciones elementales. 1 6. Un sistema de m ecuaciones con n inc´gnitas se denomina un sistema rectangular de m×n (l´ase “eme o e por ene”). Si m = n entonces el sistema se denomina cuadrado de tama˜o n. La misma terminolog´ se n ıa utiliza para el caso de matrices.

2. Instrucciones Escriba sus respuestas en hojas enblanco separadas2. No vuelva a escribir los enunciados de los problemas y entregue unicamente sus respuestas. ´

Date: January 29, 2010. 1 favor de recordar al profesor sobre esta nota el pr´ximo martes 2 de febrero. o 2a su profesor lo confunden las cuadr´ ıculas

´ ALGEBRA LINEAL I

TAREA 1

(VERSION 1.0)

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3. Problemas 1. Considere el siguiente sistema, a1 x1 + a2 x2 = c1 , b1 x1 + b2x2 = c2 . Suponga que existen dos pares ordenados distintos P = (X, Y ) y Q = (X , Y ) tales que si x1 = X y x2 = Y , o bien si x1 = X y x2 = Y , entonces las ecuaciones del sistema se satisfacen; es decir que P y Q representan dos soluciones del sistema. (i) Demuestre que x1 = (X + X )/2 y x2 = (Y + Y )/2 tambi´n es soluci´n del sistema. Interprete su e o resultado geom´tricamente en el planoCartesiano x1 x2 y luego d´ un argumento heur´ e e ıstico que justifique e o que cualquier punto sobre el segmento P Q tambi´n es soluci´n del sistema. (ii) Suponiendo que X = X , demuestre que existe un escalar γ tal que a1 = γa2 y b1 = γb2 . (iii) Suponga ahora que a1 y a2 son ambas distintas de cero (esta condici´n no es necesaria). Usando su o resultado en (ii), demuestre que existe un escalar αtal que b1 = αa1 , b2 = αa2 y c2 = αc1 . Interprete este resultado en t´rminos de las ecuaciones del sistema. e 2. Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de 2 × 2. a. −y + 2x = −4/3 , 3x − 3y/2 = −2 b. x/4 − 3y = 1/2 , −x + 3 = −12y c. x/3 + 2y = −7 . −2x + y/4 = −7

Para cada uno de los sistemas anteriores haga lo siguiente: (i) Reescriba el sistema en forma est´ndar (seg´nsea necesario) y luego escriba la matriz aumentada del a u sistema. (ii) Usando solamente las operaciones elementales de escalamiento y reemplazo, escriba la matriz aumentada del sistema en forma escalonada. (iii) Para cada una de las matrices escalonadas del inciso anterior, escriba los sistemas de ecuaciones lineales correspondientes. (iv) De su respuesta al inciso anterior indique cu´l de lossistemas tiene soluci´n unica, cu´l tiene un a o ´ a n´mero infinito de soluciones y cu´l no tiene soluci´n. Para el sistema con un n´mero infinito de soluciones u a o u encuentre dos pares distintos de soluciones, es decir, encuentre dos puntos distintos (a1 , b1 ) y (a2 , b2 ), tales que si x = a1 y y = b1 , o bien si x = a2 y y = b2 , entonces el sistema se satisface (demu´strelo). e (v) Observe...
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